微分トポロジー・特性類の問題

$2$ 次元トーラスを $T^2={\mathbb{R}}^2/{\mathbb{Z}}^2$ とし、その点を $[u,v]$ $(u,v\in \mathbb{R})$ で表す。微分同相写像
$$\sigma :T^2\to T^2,\sigma ([u,v])=\left[u+\frac{1}{2},-v\right]$$
は $\sigma \circ \sigma =\mathrm{id}$ を満たし、位数 $2$ の群 $G=\{\mathrm{id},\sigma \}$ は $T^2$ に自由に作用する。商多様体 $K=T^2/G$ のベッチ数 $b_k(K)=\dim H_{\mathrm{dR}}^k(K)$ について、組 $(b_0(K),b_1(K),b_2(K))$ を求めよ。

ただし、$H_{\mathrm{dR}}^1(T^2)$ は $[du],[dv]$ を基底とする $2$ 次元空間、$H_{\mathrm{dR}}^2(T^2)$ は $[du\wedge dv]$ を基底とする $1$ 次元空間であることは用いてよい。

$D^3=\{x\in {\mathbb{R}}^3:|x|\le 1\}$ を 3 次元の閉単位球体（境界 $\partial D^3=S^2$ をもつコンパクトな $C^{\infty }$ 級多様体）とする。$V$ を $D^3$ 上の $C^{\infty }$ 級ベクトル場で、境界 $S^2$ の各点 $x$ で $V(x)\cdot x<0$（すなわち $V$ は境界で真に内向き）を満たし、零点がちょうど 3 個 $p_1,p_2,p_3$ であり、それらはすべて $D^3$ の内部にあるものとする。$p_1$ における $V$ の指数が $2$、$p_2$ における $V$ の指数が $1$ であるとき、$p_3$ における $V$ の指数 ${\mathrm{ind}}_{p_3}(V)$ を求めよ。

平面 ${\mathbb{R}}^2$ の $2$ 点 $p=(1,0)$, $q=(-1,0)$ をとり、開集合
$$M={\mathbb{R}}^2\setminus \{p,q\}$$
を考える。$M$ の開集合
$$U=\left\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2|x>-\frac{1}{2}\right\}\setminus \{p\},V=\left\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2|x<\frac{1}{2}\right\}\setminus \{q\}$$
による開被覆 $M=U\cup V$ に対するマイヤー・ヴィートリス完全系列を用いて、$M$ の $1$ 次ベッチ数 $b_1(M)=\dim H_{\mathrm{dR}}^1(M)$ を求めよ。

$\Sigma$ を種数 $3$ の向き付け可能な閉曲面（$C^{\infty }$ 級）とし、$V$ を $\Sigma$ 上の $C^{\infty }$ 級ベクトル場で、零点がちょうど 3 個 $p_1,p_2,p_3$ であるものとする。$p_1,p_2$ のまわりには、それぞれの零点を原点 $(0,0)$ に写す局所座標 $(x,y)$ があり、その座標で $V$ は
$$p_1:V=(x^3-3x{y}^2)\frac{\partial }{\partial x}+(y^3-3x^{2}y)\frac{\partial }{\partial y},p_2:V=x\frac{\partial }{\partial x}+y\frac{\partial }{\partial y}$$
と表されている。零点 $p_3$ における $V$ の指数 ${\mathrm{ind}}_{p_3}(V)$ を求めよ。

$M={\mathbb{R}}^2\setminus \{(0,0)\}$ とし、$M$ 上の $1$ 次微分形式
$$\omega =\frac{-ydx+xdy}{x^2+y^2},\eta =\frac{(x-3y)dx+(3x+y)dy}{x^2+y^2}$$
を考える。$H_{\mathrm{dR}}^1(M)$ は $1$ 次元で、閉形式 $\omega$ のコホモロジー類 $[\omega ]$ で生成されることが知られている。$\eta$ は閉形式であり、ある実数 $c$ を用いて $H_{\mathrm{dR}}^1(M)$ において $[\eta ]=c[\omega ]$ と表される。この実数 $c$ を求めよ。