微分トポロジー・特性類の問題

$\Sigma$ を種数 $3$ の向き付け可能な閉曲面（$C^{\infty }$ 級）とし、$V$ を $\Sigma$ 上の $C^{\infty }$ 級ベクトル場で、零点がちょうど 3 個 $p_1,p_2,p_3$ であるものとする。$p_1,p_2$ のまわりには、それぞれの零点を原点 $(0,0)$ に写す局所座標 $(x,y)$ があり、その座標で $V$ は
$$p_1:V=(x^3-3x{y}^2)\frac{\partial }{\partial x}+(y^3-3x^{2}y)\frac{\partial }{\partial y},p_2:V=x\frac{\partial }{\partial x}+y\frac{\partial }{\partial y}$$
と表されている。零点 $p_3$ における $V$ の指数 ${\mathrm{ind}}_{p_3}(V)$ を求めよ。

$H\subset {\mathbb{R}}^3$ を、${\mathbb{R}}^3$ 内に滑らかに埋め込まれた 8 の字形のグラフ（2 つの円周を 1 点で貼り合わせたもの）$\Gamma$ の閉管状近傍として得られる、境界付きのコンパクトな 3 次元 $C^{\infty }$ 級部分多様体とする（境界 $\partial H$ は種数 $2$ の閉曲面で、$H$ は $\Gamma$ にホモトピー同値である）。

$V$ を $H$ 上の $C^{\infty }$ 級ベクトル場で、$\partial H$ の各点で $H$ の内側を向いている（$\partial H$ に接せず、内向き）ものとする。$V$ の零点は $H$ の内部にちょうど 2 個 $p,q$ だけあり、$p$ は非退化で、$V$ の $p$ における微分（線形化）$d{V}_p:{\mathbb{R}}^3\to {\mathbb{R}}^3$ の固有値は $1,2,-3$ である。

このとき、零点 $q$ における $V$ の指数 ${\mathrm{ind}}_q(V)$ を求めよ。

${\mathbb{R}}^2$ 上のベクトル場
$$V(x,y)=\left(x^2-y^2,-2xy\right)$$
を考える。$V$ の零点は原点 $(0,0)$ だけである。原点における $V$ の零点の指数 ${\mathrm{ind}}_{(0,0)}V$ を求めよ。ただし、指数は原点を中心とする小円 $C_r=\{x^2+y^2=r^2\}$（$r>0$、反時計回りの向き）から単位円 $S^1$ への写像 $V/|V|$ の写像度で定め、$S^1$ には反時計回りの向きを入れる。

$M={\mathbb{CP}}^1\times {\mathbb{CP}}^3$ とし、${\mathbb{CP}}^1$ の斉次座標を $[s_0:s_1]$、${\mathbb{CP}}^3$ の斉次座標を $[z_0:z_1:z_2:z_3]$ とする。$F$ を $(s_0,s_1)$ について $2$ 次斉次、$(z_0,\dots ,z_3)$ について $3$ 次斉次な複素係数多項式とし、その零点集合
$$X=\{F=0\}\subset M$$
は滑らかな（複素 $3$ 次元の）閉複素部分多様体であるとする。$M$, $X$ には複素構造から定まる向きを入れる。$H^4(X;\mathbb{Z})$ の中で、カップ積 $\alpha ⌣\beta$（$\alpha ,\beta \in H^2(X;\mathbb{Z})$）全体が生成する部分群を $L$ とするとき、剰余群 $H^4(X;\mathbb{Z})/L$ の位数を求めよ。

$M={\mathbb{CP}}^1\times {\mathbb{CP}}^3$ を、各因子の複素構造から定まる向きをもつ実 $8$ 次元の閉 $C^{\infty }$ 級多様体とみなす。${\pi }_1:M\to {\mathbb{CP}}^1$, ${\pi }_2:M\to {\mathbb{CP}}^3$ を射影とし、$h_1\in H^2({\mathbb{CP}}^1;\mathbb{Z})$, $h_2\in H^2({\mathbb{CP}}^3;\mathbb{Z})$ をそれぞれ超平面（${\mathbb{CP}}^1$ では 1 点、${\mathbb{CP}}^3$ では ${\mathbb{CP}}^2$）のポアンカレ双対で、${\int }_{{\mathbb{CP}}^1}{h}_1=1$, ${\int }_{{\mathbb{CP}}^3}{h}_2^3=1$ を満たす生成元とする。$a={\pi }_1^{\ast }{h}_1$, $b={\pi }_2^{\ast }{h}_2\in H^2(M;\mathbb{Z})$ とおくとき、積分
$${\int }_M(3a+2b{)}^4$$
の値を求めよ。ただし $(3a+2b{)}^4$ はカップ積による $4$ 乗とする。