微分トポロジー・特性類の問題

$S^2$ に向きを 1 つ固定し、$S^2\times S^2$ には積の向きを入れる。$\overline{{\mathbb{CP}}^2}$ は複素射影平面 ${\mathbb{CP}}^2$ の複素構造から定まる向きを逆にした閉 4 次元多様体とする。向き付けられた閉 4 次元多様体
$$X=(S^2\times S^2)\#\overline{{\mathbb{CP}}^2}$$
を考える（連結和は向きと両立するようにとる）。$H_2(X;\mathbb{Z})$ の元として、$A=[S^2\times \{\mathrm{pt}\}]$、$B=[\{\mathrm{pt}\}\times S^2]$、$E$ を $\overline{{\mathbb{CP}}^2}$ の直線 ${\mathbb{CP}}^1$ が定めるホモロジー類とし、$A,B$ は $S^2$ の基本類から定まる向きをもつものとする。$H_2(X;\mathbb{Z})$ 上の交叉形式を $Q_X$ とする。

類 $C=3A+2B-E$ の自己交叉数 $Q_X(C,C)$ と、$X$ の符号数 $\sigma (X)$ を、この順に組 $(Q_X(C,C),\sigma (X))$ で求めよ。

${\mathbb{R}}^3$ の $z$ 軸を $L=\{(0,0,z)\mid z\in \mathbb{R}\}$ とし、2 点 $p=(1,0,0)$, $q=(-1,0,0)$ をとる。開集合
$$X={\mathbb{R}}^3\setminus (L\cup \{p,q\})$$
と円周 $S^1$ の積として得られる 4 次元 $C^{\infty }$ 級多様体 $M=X\times S^1$ を考える。

$k=0,1,2,3,4$ に対して $b_k={\dim }_{\mathbb{R}}{H}_{\mathrm{dR}}^k(M)$ とおく。組 $(b_0,b_1,b_2,b_3,b_4)$ をこの順に求めよ。ここで $H_{\mathrm{dR}}^k$ は（コンパクト台でない）通常のド・ラーム・コホモロジーである。

複素射影空間 ${\mathbb{CP}}^5$ の斉次座標を $[z_0:z_1:\cdots :z_5]$ とし、
$$X=\{[z_0:\cdots :z_5]\in {\mathbb{CP}}^5\mid z_0^3+z_1^3+z_2^3+z_3^3+z_4^3+z_5^3=0\}$$
とおく。$X$ は複素 $4$ 次元の非特異な複素部分多様体である。$X$ を、複素構造から定まる向きをもつ実 $8$ 次元の閉 $C^{\infty }$ 級多様体とみなす。$X$ の接束 $TX$（実ベクトル束）のポントリャーギン類を $p_i=p_i(TX)\in H^{4i}(X;\mathbb{Z})$ とする。ただし、実ベクトル束 $E$ に対して $p_i(E)=(-1{)}^i{c}_{2i}(E\otimes \mathbb{C})$ と定める。基本類 $[X]$ 上で評価したポントリャーギン数
$$p_1^2[X]=⟨p_1^2,[X]⟩,p_2[X]=⟨p_2,[X]⟩$$
を、この順に組 $(p_1^2[X],p_2[X])$ として求めよ。

3 次元トーラスを $T^3={\mathbb{R}}^3/{\mathbb{Z}}^3$ とし、${\mathbb{R}}^3$ の点を列ベクトル $x$ で表して、その $T^3$ における像を $[x]$ と書く。整数行列
$$A=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ 1& 1& 0\\ 0& 0& -1\end{array}\right)$$
は $\det A=-1$ をみたすので、$f([x])=[Ax]$ により $C^{\infty }$ 級微分同相写像 $f:T^3\to T^3$ が定まる。$f$ の写像トーラス
$$M=(T^3\times \mathbb{R})/\sim ,([x],t)\sim (f([x]),t+1)$$
（$\sim$ はこの関係が生成する同値関係）は 4 次元の連結なコンパクト $C^{\infty }$ 級多様体である。$b_k={\dim }_{\mathbb{R}}{H}_{\mathrm{dR}}^k(M)$ とするとき、$(b_1,b_2,b_3,b_4)$ をこの順に組で求めよ。

$n$ を正の整数とし、$M$ を $n$ 次元の閉じた（コンパクトで境界をもたない）滑らかな多様体、$\chi (M)$ をそのオイラー標数とする。$M$ 上の滑らかなベクトル場 $v$ の零点 $p$ が「非退化」であるとは、$p$ のまわりの座標近傍で $v$ を ${\mathbb{R}}^n$ の開集合 $U$ 上の滑らかな写像 $v:U\to {\mathbb{R}}^n$（$p$ は $0\in U$ に対応）と表したとき、ヤコビ行列 $Dv(0)$ が正則であることをいう（この条件は座標近傍の取り方によらない）。

$M$ 上の滑らかなベクトル場 $v$ の零点がすべて非退化であるとする。このとき $v$ の零点は有限個であり、その個数を $N$ とすると
$$N\ge |\chi (M)|\text{かつ}N\equiv \chi (M)(\mathrm{mod}2)$$
が成り立つことを証明せよ。

ただし、次の事実は用いてよい。
- 孤立零点 $p$ における指数 ${\mathrm{ind}}_p(v)$ は座標近傍の取り方によらない整数として定まり、$p$ が非退化な零点ならば ${\mathrm{ind}}_p(v)=\mathrm{sgn}\det Dv(0)$（$Dv(0)$ は上の座標表示でのヤコビ行列）である。
- （ポアンカレ・ホップの定理）$M$ 上の滑らかなベクトル場の零点が有限個ですべて孤立していれば、それらの指数の和は $\chi (M)$ に等しい。
- 逆関数定理。