力学（質点・剛体）の問題

質量 $m$ の質点が、固定された点 $\mathrm{O}$ を中心とするポテンシャル $U(r)=\alpha r^4$（$r$ は $\mathrm{O}$ からの距離、$\alpha$ は正の定数）の中で、$\mathrm{O}$ のまわりの角運動量の大きさ $L(>0)$ をもって平面運動している。質点の軌道が半径 $r_c$ の円軌道からわずかにずれているとき、動径 $r$ は $r_c$ のまわりで角振動数 ${\omega }_r$ の微小振動をする。円軌道を回る角速度を ${\omega }_{\phi }$ とするとき、比 $\frac{{\omega }_r}{{\omega }_{\phi }}$ を正確な値で求めよ。ただし、$r_c$ は同じ $L$ をもつ円軌道の半径であり、${\omega }_{\phi }$ はその円軌道での角速度とする。質点にはこの中心力以外の力ははたらかないものとする。

質量 $M$ の天体の中心 $\mathrm{O}$ から距離 $r_0$ の点 $\mathrm{P}$ で、質量 $m$（$m\ll M$）の人工衛星が、線分 $\mathrm{OP}$ に垂直な向きに速さ
$$v_0=\sqrt{\frac{3GM}{2r_0}}$$
で動いていた。ここで $G$ は万有引力定数である。人工衛星は天体からの万有引力だけを受けて運動し、天体は静止しているとみなす。

その後の運動で、人工衛星と $\mathrm{O}$ の距離の最大値を、$r_0$ を用いて表せ。

固定された直線の軸のまわりに、剛体を一定の角速度の大きさ $\omega$ で回転させる。軸上の点 O を原点とし、軸に沿って $z$ 軸をとる。剛体は、質量の無視できる細いシャフト（$z$ 軸に一致する）と、シャフトに垂直に固定された質量の無視できる 2 本の細い腕と、腕の先に取り付けた 2 つの小さなおもり P, Q（質点とみなす）からなる。

• おもり P（質量 $m$）は、$z=h$ の位置でシャフトに垂直に取り付けた腕の先にあり、軸からの距離は $a$ である。
• おもり Q（質量 $2m$）は、$z=-h$ の位置でシャフトに垂直に取り付けた腕の先にあり、軸からの距離は $\frac{a}{2}$ である。
• P と Q は、軸を含む 1 つの平面内で、軸をはさんで互いに反対側にある。

シャフトは $z=d$ と $z=-d$ の位置にある 2 つの軸受けで支えられていて、軸受けはシャフトに軸に垂直な向きの力だけを及ぼす。重力の影響は考えず、$a>0$, $h>0$, $d>0$, $m>0$, $\omega >0$ とする。

$z=d$ の位置の軸受けがシャフトに及ぼす力の大きさ $F$ を、$m$, $a$, $h$, $d$, $\omega$ を用いて表せ。

質量 $m$ の質点が、固定された点 $\mathrm{O}$ からの距離 $r$ だけで決まるポテンシャル
$$U(r)=-\frac{k{e}^{-r/a}}{r}$$
（$k$, $a$ は正の定数）の中で運動する。質点にはこのポテンシャルによる力以外の力ははたらかず、非相対論的な古典力学で考える。

はじめ、質点は $\mathrm{O}$ を中心とする半径 $a$ の円軌道を等速で回っていた。このとき、$\mathrm{O}$ のまわりの角運動量を変えないように、軌道面内で質点に半径方向のごく小さな乱れを与えた。その後、質点と $\mathrm{O}$ の距離 $r$ は $a$ の近くで振動する。

$r$ が極小になってから次に $r$ が極小になるまでのあいだに、質点が $\mathrm{O}$ のまわりに回る角 $\Delta \phi$（ラジアン）を求めよ。ただし、乱れは十分小さいとして、$r-a$ について 1 次の近似（微小振動の近似）で考えよ。

なめらかな水平な台の中央に小さな穴 $\mathrm{O}$ があり、穴に通した軽い糸の一端に質量 $m$ の小球をつけ、もう一端を台の下で手で持っている。はじめ小球は $\mathrm{O}$ を中心とする半径 $a$ の円周上を、角速度 ${\omega }_0$ で等速円運動していた。その後、手で糸をゆっくり下に引き、小球と $\mathrm{O}$ の距離を $\frac{a}{2}$ にした。このとき小球は $\mathrm{O}$ を中心とする半径 $\frac{a}{2}$ の等速円運動をしていた。

このときの小球の角速度を、${\omega }_0$ を用いて表せ。ただし、糸と穴のあいだの摩擦は無視できるものとする。