力学（質点・剛体）の問題

なめらかな水平な台に小さな穴 $\mathrm{O}$ があいている。軽くて伸びない糸を穴に通し、台の上の端に質量 $m$ の小物体 $\mathrm{P}$ を、台の下にたらした端に質量 $2m$ のおもりをつける。おもりは鉛直線上だけを運動するものとする。

はじめ、$\mathrm{P}$ は $\mathrm{O}$ から距離 $r_0$ の位置にあり、糸はぴんと張っている。この瞬間、おもりは静止しており、$\mathrm{P}$ には糸に垂直な水平方向の初速度（大きさ $v_0$）を与えた。その後、$\mathrm{P}$ は台の上を運動し、$\mathrm{O}$ からの距離は $r_0$ と $2r_0$ のあいだで増減をくり返した。

$v_0$ を $g$, $r_0$ で表せ。ただし、重力加速度の大きさを $g$ とし、台・穴と糸のあいだの摩擦や空気抵抗は無視する。糸は運動のあいだたるまず、$\mathrm{P}$ が穴に達することや、おもりが台に当たることはないものとする。

なめらかな水平な床の上に、質量 $M$ の台が置かれている。台の上面は、摩擦のない曲面と、それにつながる摩擦のない水平面からなる。曲面の下端では曲面の接線が水平になっていて、曲面は折れ曲がることなく台の水平面につながっている。台の曲面上で、台の水平面より高さ $h$ だけ高い位置に質量 $m$ の小物体を置き、台と小物体を同時に静かにはなした。小物体は曲面をすべり下りて台の水平面に達し、台は床の上を水平に動く。

小物体が台の水平面に達したときの、台に対する小物体の相対速度の大きさを、$m$, $M$, $g$, $h$ を用いて表せ。ただし、$g$ は重力加速度の大きさであり、小物体の大きさは無視でき、小物体は台から離れず、運動はすべて同じ鉛直面内で起こるものとする。

天井に固定した水平な軸のまわりに、質量 $M$、半径 $R$ の一様な円板でできた滑車がなめらかに（摩擦なく）回転できるように取り付けられている。滑車に軽くて伸びない糸をかけ、糸の一端に質量 $2m$ のおもり $\mathrm{A}$、他端に質量 $m$ のおもり $\mathrm{B}$ をつるす。糸は滑車に対してすべらないものとする。

静かに手を放すと、$\mathrm{A}$ は下降し $\mathrm{B}$ は上昇した。このときの $\mathrm{A}$ の加速度の大きさ $a$ を、$m$, $M$, $g$ を用いて求めよ。ただし、$g$ は重力加速度の大きさであり、空気抵抗は無視する。

内半径 $a$ の円筒形の容器に水を入れ、容器の中心軸を鉛直にして、中心軸のまわりに一定の角速度 $\omega$ で回転させる。十分時間がたつと、水は容器とともに一体となって回転し、容器とともに回転する座標系から見て静止した。

このとき、容器の壁に接する位置での水面の高さは、中心軸上での水面の高さよりどれだけ高いか。$a$, $\omega$, $g$ を用いて表せ。ただし、$g$ は重力加速度の大きさであり、水はこぼれず、容器の底面は水面から出ないものとする。

質量 $M$、半径 $R$ の一様な円柱が、中心軸を水平にして粗い水平な床の上に置かれている。円柱の側面に軽くて伸びない糸を巻きつけ、糸の端を円柱の最上部から水平に引き出して、一定の大きさ $F$ の力で水平に引く。円柱は床の上をすべらずに転がった。このとき円柱の中心の加速度の大きさを $M$, $F$ を用いて表せ。ただし、糸は円柱の側面に対してすべらず、糸は常に円柱の最上部から水平にのびているものとし、転がり摩擦と空気抵抗は無視する。