シュワルツシルト時空の有効ポテンシャルと円軌道

保存量を使って動径方程式を $r ˙^{2} = E ~^{2} - (1 - \frac{2 M}{r}) (1 + \frac{L ~ ^{2}}{r ^{2}})$ の形にし、円軌道の $L ~^{2} = \frac{M r}{1 - 3 M / r}$ , $E ~ = \frac{1 - 2 M / r}{1 - 3 M / r}$ や、最内安定円軌道 $r = 6 M$ と束縛エネルギーを求められる

前提

キリングベクトルと測地線の保存量（大学院物理一般相対論）
有効ポテンシャルと円軌道の安定性（大学物理力学（質点・剛体））

この技能までの道筋（140 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

三角形の角の大きさ（算数平面図形）
対頂角と平行線の同位角・錯角（中学数学平面図形）
三角形の外角と角の組み合わせ（中学数学平面図形）
小数の四則計算（算数計算と数のきまり）
分数のたし算・ひき算（算数計算と数のきまり）
分数のかけ算・わり算（算数計算と数のきまり）
小数と分数のまじった計算（算数計算と数のきまり）
逆算（□ を求める）（算数計算と数のきまり）
正負の数の加法・減法（中学数学数と式）
四則の混じった計算の順序（算数計算と数のきまり）
正負の数の乗除・累乗と四則混合（中学数学数と式）
分配法則を使った計算のくふう（算数計算と数のきまり）
文字式の計算（同類項・分配法則）（中学数学数と式）
1 次方程式の解き方（中学数学方程式）
二等辺三角形の角（中学数学平面図形）
平行四辺形と特別な四角形の性質（中学数学平面図形）
三角形・四角形の面積（算数平面図形）
約数の見つけ方（算数整数の性質）
素因数分解と約数の個数（算数整数の性質）
平方根の意味と根号の簡単化（中学数学数と式）
三平方の定理（中学数学相似と三平方の定理）
乗法公式による展開（中学数学数と式）
折り返した図形の角と長さ（中学数学平面図形）
三平方の定理と平面図形（中学数学相似と三平方の定理）
ベクトルの演算と成分（数学C ベクトル）
特別な直角三角形の辺の比（中学数学相似と三平方の定理）
最大公約数と最小公倍数（算数整数の性質）
比の性質と簡単な比（算数割合と比）
相似な三角形と長さの比（算数平面図形）
三角形の相似条件と対応する辺の長さ（中学数学相似と三平方の定理）
三角比の定義と値（数学I 図形と計量）
内積となす角（数学C ベクトル）
位置ベクトルと内分点・外分点（数学C ベクトル）
交点の位置ベクトル（数学C ベクトル）
空間ベクトルと直線・平面（数学C ベクトル）
行列の和・積と 2 次の逆行列（大学数学線形代数）
樹形図で数え上げる（算数場合の数）
積の法則と和の法則（算数場合の数）
和の法則・積の法則と樹形図（数学A 場合の数と確率）
順列・円順列・重複順列（数学A 場合の数と確率）
行列式（大学数学線形代数）
空間ベクトルの外積（大学数学ベクトル解析）
因数分解（中学数学数と式）
3 次式までの展開と因数分解（数学I 数と式）
微分係数と導関数の定義（数学II 微分法と積分法）
多項式の微分（数学II 微分法と積分法）
多項式の不定積分（数学II 微分法と積分法）
等間隔にならんだ数の和（算数計算と数のきまり）
等差・等比数列の和と Σ （数学B 数列）
数列の極限（数学III 極限）
関数の極限（数学III 極限）
積と商の微分（数学III 微分法）
合成関数の微分（数学III 微分法）
円の周の長さと面積（算数平面図形）
おうぎ形の弧の長さと面積（算数平面図形）
弧の長さからおうぎ形の中心角と面積を求める（中学数学平面図形）
弧度法と単位円による三角関数（数学II 三角関数）
$sin x / x$ の極限（数学III 極限）
加法定理と 2 倍角・半角・積和の公式（数学II 三角関数）
三角関数の導関数（数学III 微分法）
根号の乗除と加減（中学数学数と式）
指数の拡張と指数関数（数学II 指数関数と対数関数）
対数の定義と性質（数学II 指数関数と対数関数）
自然対数の底 $e$ （数学III 極限）
指数関数・対数関数の導関数（数学III 微分法）
基本的な関数の不定積分（数学III 積分法）
置換積分（数学III 積分法）
部分積分（数学III 積分法）
定積分の計算（数学II 微分法と積分法）
定積分の置換・部分積分と偶関数・奇関数（数学III 積分法）
逆関数・陰関数・媒介変数表示の微分（数学III 微分法）
曲線の長さ（数学III 積分法）
広義積分（大学数学微分積分）
空間曲線の曲率とねじれ率（大学院数学微分幾何）
重積分と累次積分（大学数学微分積分）
偏微分と全微分（大学数学微分積分）
多変数の連鎖律（大学数学微分積分）
重積分の変数変換とヤコビアン（大学数学微分積分）
曲面の媒介変数表示と面積要素（大学数学ベクトル解析）
第一基本形式とリーマン計量（大学院数学微分幾何）
第二基本形式と法曲率（大学院数学微分幾何）
曲面上の曲線の測地的曲率（大学院数学微分幾何）
クリストッフェル記号と測地線の方程式（大学院数学微分幾何）
速さと平均の速さ（中学理科運動とエネルギー）
記録タイマーの打点と速さ（中学理科運動とエネルギー）
斜面の運動と等速直線運動（中学理科運動とエネルギー）
変位・速度・加速度（直線運動）（高校物理運動の表し方）
速度の合成と分解（高校物理運動の表し方）
相対速度（高校物理運動の表し方）
分母の有理化（中学数学数と式）
乗法公式・分配法則を使う根号の式の展開（中学数学数と式）
根号を含む式の計算と分母の有理化（数学I 数と式）
ローレンツ変換（大学物理特殊相対論）
時空の計量とクリストッフェル記号（大学院物理一般相対論）
キリングベクトルと測地線の保存量（大学院物理一般相対論）
重力と力の大きさ（中学理科力のはたらき）
2 力のつり合いと作用・反作用（中学理科力のはたらき）
力の種類とはたらき（中学理科物理分野の用語と知識）
重力・垂直抗力・張力の性質（高校物理力と運動（知識））
慣性の法則と力のつり合い（高校物理力と運動（知識））
力の分解と質点のつり合い（高校物理力と運動）
力のモーメントと偶力（高校物理力と運動（知識））
力のモーメント（高校物理力と運動）
運動の法則（運動方程式）（高校物理力と運動（知識））
運動方程式（高校物理力と運動）
正弦定理・余弦定理と三角形の面積（数学I 図形と計量）
極座標（数学C 平面上の曲線）
極座標での運動方程式（大学物理力学（質点・剛体））
角運動量とトルク（大学物理力学（質点・剛体））
静止摩擦力・最大摩擦力・動摩擦力（高校物理力と運動（知識））
静止摩擦力と動摩擦力（高校物理力と運動）
仕事（高校物理仕事・エネルギーと運動量）
運動エネルギーと仕事の関係（高校物理仕事・エネルギーと運動量）
弾性力とフックの法則（高校物理力と運動（知識））
重力と弾性力の位置エネルギー（高校物理仕事・エネルギーと運動量）
糸でつながれた物体の運動（高校物理力と運動）
力学的エネルギー保存則（高校物理仕事・エネルギーと運動量）
ベクトル場の線積分（大学数学ベクトル解析）
勾配・発散・回転（大学数学ベクトル解析）
保存場とポテンシャル（大学数学ベクトル解析）
保存力とポテンシャル（大学物理力学（質点・剛体））
比例・反比例の式とグラフ（中学数学関数）
関数 $y = a x^{2}$ の式と変域（中学数学関数）
平方完成と 2 次関数のグラフ（数学I 2次関数）
2 次不等式（数学I 2次関数）
剰余の定理・因数定理と高次方程式（数学II 複素数と方程式）
増減表と極値（数学II 微分法と積分法）
関数の連続性と中間値の定理（数学III 極限）
平均値の定理（数学III 微分法）
第 2 次導関数とグラフの凹凸（数学III 微分法）
増減・凹凸・漸近線とグラフ（数学III 微分法）
テイラー展開（大学数学微分積分）
力のつり合いと作用・反作用（中学理科物理分野の用語と知識）
慣性の法則と物体の運動（中学理科物理分野の用語と知識）
等速円運動の速度と加速度（高校物理円運動・単振動・万有引力（知識））
等速円運動の速さ・角速度・周期（高校物理円運動・単振動・万有引力）
三角関数のグラフの拡大と平行移動（数学II 三角関数）
単振動の変位・速度・加速度（高校物理円運動・単振動・万有引力（知識））
単振動の変位・速度・加速度の式（高校物理円運動・単振動・万有引力）
有効ポテンシャルと円軌道の安定性（大学物理力学（質点・剛体））

説明

シュワルツシルト時空（質量 $M$ の球対称なブラックホールや星の外側）を運動する質点の動径方向の運動を、保存量 $E ~, L ~$ を使って 1 次元の運動に帰着させる技能です。これにより、円軌道の角運動量・エネルギー、円軌道が安定かどうか、安定な円軌道のうち最も内側のもの（最内安定円軌道, ISCO）が $r = 6 M$ にあること、そこへ落ち込むまでに解放される束縛エネルギーなどを、微分方程式を解かずに求められます。降着円盤の内縁やブラックホール近傍の軌道の議論で基本となる計算です。

なぜそうしてよいのか

以下、 $G = c = 1$ 、計量の符号は $(-, +, +, +)$ とし、シュワルツシルト計量 $d s^{2} = - (1 - \frac{2 M}{r}) d t^{2} + \frac{d r ^{2}}{1 - 2 M / r} + r^{2} (d θ^{2} + sin^{2} θ d ϕ^{2})$ を $r > 2 M$ で使います。上付きの点は固有時間 $τ$ による微分です。球対称なので軌道面を赤道面 $θ = π /2$ に選べます。計量は $t$ にも $ϕ$ にもよらないので、キリングベクトル $\partial_{t}, \partial_{ϕ}$ から単位質量あたりの保存量 $E ~ = - u_{t} = (1 - \frac{2 M}{r}) t ˙, L ~ = u_{ϕ} = r^{2} ϕ ˙$ が得られます。

これを規格化条件 $g_{μν} u^{μ} u^{ν} = - 1$ 、すなわち $- (1 - \frac{2 M}{r}) t ˙^{2} + \frac{r ˙ ^{2}}{1 - 2 M / r} + r^{2} ϕ ˙^{2} = - 1$ に代入し、両辺に $1 - \frac{2 M}{r}$ を掛けると $- E ~^{2} + r ˙^{2} + (1 - \frac{2 M}{r}) \frac{L ~ ^{2}}{r ^{2}} = - (1 - \frac{2 M}{r})$ 、つまり $r ˙^{2} = E ~^{2} - V (r), V (r) = (1 - \frac{2 M}{r}) (1 + \frac{L ~ ^{2}}{r ^{2}})$ となります。これは「運動エネルギー $r ˙^{2}$ ＋ポテンシャル $V$ ＝一定値 $E ~^{2}$ 」という 1 次元運動の形で、ニュートン力学の有効ポテンシャルの議論がそのまま使えます。実際 $V = 1 - \frac{2 M}{r} + \frac{L ~ ^{2}}{r ^{2}} - \frac{2 M L ~ ^{2}}{r ^{3}}$ と展開すると、定数 $1$ を除く $- \frac{2 M}{r} + \frac{L ~ ^{2}}{r ^{2}}$ の 2 項が、ニュートンの重力ポテンシャル $- \frac{M}{r}$ と遠心力の項 $\frac{L ~ ^{2}}{2 r ^{2}}$ のそれぞれ 2 倍に対応し、最後の $- 2 M L ~^{2} / r^{3}$ が一般相対論による新しい引力項です。この項のために、小さい $r$ では遠心力の壁が崩れ、円軌道にならない領域が生じます。

円軌道は $r ˙ = 0$ がずっと続く運動なので、 $V^{'} (r) = 0$ （力がつり合う）と $E ~^{2} = V (r)$ （その位置で止まっている）の 2 条件で決まり、さらに $V^{''} (r) > 0$ なら安定（谷底）、 $V^{''} (r) < 0$ なら不安定（山頂）です（ $^{'}$ は $L ~$ を固定したままの $r$ 微分）。安定な円軌道が存在できる境目は、谷と山が合体して消える点、すなわち $V^{'} = V^{''} = 0$ の点で、これが最内安定円軌道になります。円軌道上の $V^{''}$ は、 $V^{'} = 0$ から決まる $L ~^{2} (r)$ の増減と次のように結びつきます。 $V^{'} (r; L ~^{2}) = \frac{2 M}{r ^{2}} - \frac{2 L ~ ^{2}}{r ^{3}} + \frac{6 M L ~ ^{2}}{r ^{4}}$ に円軌道の $L ~^{2} = L ~^{2} (r)$ を入れた式は、すべての円軌道の半径 $r$ で $0$ なので、 $r$ で微分しても $0$ です: $V^{''} + \frac{\partial V ^{'}}{\partial L ~ ^{2}} \frac{d L ~ ^{2}}{d r} = 0, \frac{\partial V ^{'}}{\partial L ~ ^{2}} = - \frac{2}{r ^{3}} + \frac{6 M}{r ^{4}} = - \frac{2 ( r - 3 M )}{r ^{4}} .$ よって $V^{''} = \frac{2 ( r - 3 M )}{r ^{4}} \frac{d L ~ ^{2}}{d r}$ で、円軌道のある $r > 3 M$ では $V^{''}$ と $\frac{d L ~ ^{2}}{d r}$ の符号が一致し、 $V^{''} = 0$ と $\frac{d L ~ ^{2}}{d r} = 0$ は同値です。

手順

保存量 $E ~ = (1 - \frac{2 M}{r}) t ˙, L ~ = r^{2} ϕ ˙$ を規格化条件に代入して $r ˙^{2} = E ~^{2} - V (r)$ , $V (r) = (1 - \frac{2 M}{r}) (1 + \frac{L ~ ^{2}}{r ^{2}}) = 1 - \frac{2 M}{r} + \frac{L ~ ^{2}}{r ^{2}} - \frac{2 M L ~ ^{2}}{r ^{3}}$ を書く
円軌道の条件 $V^{'} (r) = \frac{2 M}{r ^{2}} - \frac{2 L ~ ^{2}}{r ^{3}} + \frac{6 M L ~ ^{2}}{r ^{4}} = 0$ を $L ~^{2}$ について解く: 両辺に $\frac{r ^{4}}{2}$ を掛けて $M r^{2} - L ~^{2} (r - 3 M) = 0$ 、よって $L ~^{2} = \frac{M r ^{2}}{r - 3 M} = \frac{M r}{1 - 3 M / r}$ （ $L ~^{2} > 0$ となる $r > 3 M$ のときだけ解がある）
$E ~^{2} = V (r)$ に代入してエネルギーを求める: $1 + \frac{L ~ ^{2}}{r ^{2}} = \frac{1 - 2 M / r}{1 - 3 M / r}$ より $E ~^{2} = \frac{( 1 - 2 M / r ) ^{2}}{1 - 3 M / r}$ 、 $E ~ = \frac{1 - 2 M / r}{1 - 3 M / r}$ （ $E ~ > 0$ をとる）
安定性を $V^{''}$ の符号で調べる: 円軌道上では $V^{''} = \frac{2 ( r - 3 M )}{r ^{4}} \frac{d L ~ ^{2}}{d r}$ （idea 参照）で、 $\frac{d L ~ ^{2}}{d r} = \frac{M { 2 r ( r - 3 M ) - r ^{2} }}{( r - 3 M ) ^{2}} = \frac{M r ( r - 6 M )}{( r - 3 M ) ^{2}}$ なので $V^{''} = \frac{2 M ( r - 6 M )}{r ^{3} ( r - 3 M )}$ 。 $r > 6 M$ で $V^{''} > 0$ （安定）、 $3 M < r < 6 M$ で $V^{''} < 0$ （不安定）、 $V^{'} = V^{''} = 0$ となる $r = 6 M$ が最内安定円軌道
束縛エネルギー（単位静止質量あたり）は、無限遠で静止した状態 $E ~ = 1$ との差 $1 - E ~$ として求める

例題

$G = c = 1$ とし、質量 $M$ のシュワルツシルト時空を考える。計量の符号は $(-, +, +, +)$ とする。半径 $r = 12 M$ の円軌道を運動する質点の、単位静止質量あたりのエネルギー $E ~ = - u_{t}$ を求めよ。

例題の解答

手順 1: 赤道面の運動では $r ˙^{2} = E ~^{2} - V (r)$ , $V (r) = (1 - \frac{2 M}{r}) (1 + \frac{L ~ ^{2}}{r ^{2}})$ である。

手順 2: 円軌道の条件 $V^{'} (r) = 0$ から $L ~^{2} = \frac{M r}{1 - 3 M / r}$ 。 $r = 12 M$ では $1 - \frac{3 M}{r} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ なので $L ~^{2} = \frac{12 M ^{2}}{3/4} = 16 M^{2}$ 。 $r = 12 M > 3 M$ なので円軌道は存在する。

手順 3: $E ~^{2} = V (12 M)$ を計算する。 $1 - \frac{2 M}{r} = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$ 、 $1 + \frac{L ~ ^{2}}{r ^{2}} = 1 + \frac{16 M ^{2}}{144 M ^{2}} = \frac{10}{9}$ より $E ~^{2} = \frac{5}{6} \cdot \frac{10}{9} = \frac{25}{27} .$ これは公式 $E ~ = \frac{1 - 2 M / r}{1 - 3 M / r} = \frac{5/6}{3 /2} = \frac{5}{3 3}$ と一致する。 $E ~ > 0$ をとって $E ~ = \frac{5}{3 3} = \frac{5 3}{9} \approx 0.962.$

手順 4（確認）: $V^{''} = \frac{2 M ( r - 6 M )}{r ^{3} ( r - 3 M )}$ は $r = 12 M$ で正なので、この円軌道は安定である。

手順 5（参考）: この軌道の束縛エネルギーは $1 - \frac{5 3}{9} \approx 0.038$ である。

答え: $\frac{5 3}{9}$

よくある誤り

ニュートンの有効ポテンシャル $- \frac{M}{r} + \frac{L ~ ^{2}}{2 r ^{2}}$ だけで円軌道を求め、 $L ~^{2} = M r$ としてしまう誤り。正しくは相対論的な項 $- \frac{2 M L ~ ^{2}}{r ^{3}}$ を含む $V (r)$ から $L ~^{2} = \frac{M r}{1 - 3 M / r}$ で、 $r ≫ M$ のときだけ $M r$ に近づく。
規格化条件に代入するとき $1 - \frac{2 M}{r}$ を掛け忘れ、 $r ˙^{2} = E ~^{2} - 1 + \frac{2 M}{r} - \frac{L ~ ^{2}}{r ^{2}}$ のように $- \frac{2 M L ~ ^{2}}{r ^{3}}$ の項を落としてしまう誤り。正しくは $g_{r r} = (1 - \frac{2 M}{r})^{- 1}$ なので、両辺に $1 - \frac{2 M}{r}$ を掛けて $r ˙^{2} = E ~^{2} - (1 - \frac{2 M}{r}) (1 + \frac{L ~ ^{2}}{r ^{2}})$ となる。
円軌道は $r > 3 M$ ならどこでも安定だとしてしまう誤り。正しくは円軌道上で $V^{''} = \frac{2 M ( r - 6 M )}{r ^{3} ( r - 3 M )}$ なので、安定なのは $r > 6 M$ だけで、 $3 M < r < 6 M$ の円軌道はポテンシャルの山頂にあり不安定。 $r \leq 3 M$ には質量をもつ粒子の円軌道はない。
束縛エネルギーを $E ~$ そのものや $E ~^{2} - 1$ としてしまう誤り。正しくは単位静止質量あたり $1 - E ~$ で、最内安定円軌道 $r = 6 M$ では $E ~ = \frac{2 2}{3}$ より $1 - \frac{2 2}{3} \approx 0.057$ （静止質量の約 5.7%）。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
単位系 $G = c = 1$ を用い、計量の符号の流儀は $(-, +, +, +)$ とする。質量 $M$ （ $M > 0$ ）のシュワルツシルト時空
$d s^{2} = - (1 - \frac{2 M}{r}) d t^{2} + (1 - \frac{2 M}{r})^{- 1} d r^{2} + r^{2} (d θ^{2} + sin^{2} θ d ϕ^{2})$
の赤道面 $θ = \frac{π}{2}$ 上で、質量をもつ粒子が時間的測地線に沿って運動する。固有時を $τ$ 、 $˙ = \frac{d}{d τ}$ とし、保存量を
$E ~ = (1 - \frac{2 M}{r}) t ˙, L ~ = r^{2} ϕ ˙$
で定める。粒子が半径 $r = 8 M$ の円軌道を回っているとき、単位質量あたりのエネルギー $E ~$ を求めよ。答えは分母を有理化した根号の形で書け。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

動径振動と近点移動（大学院物理一般相対論）
光の測地線と光の曲がり（大学院物理一般相対論）