一般相対論

自然単位系 $c=1$ を用い、計量の符号の流儀は $(-,+)$ とする。座標 $(x^0,x^1)=(t,x)$ をもつ 2 次元時空の計量が
$$d{s}^2=-d{t}^2+e^{2Ht}d{x}^2$$
で与えられている。ここで $H$ は正の定数である。レビ・チビタ接続のクリストッフェル記号
$${\Gamma }_{\mu \nu }^{\rho }=\frac{1}{2}{g}^{\rho \sigma }\left({\partial }_{\mu }{g}_{\sigma \nu }+{\partial }_{\nu }{g}_{\sigma \mu }-{\partial }_{\sigma }{g}_{\mu \nu }\right)$$
のうち、成分 ${\Gamma }_{xx}^t$ を $t$ と $H$ で表せ。

自然単位系 $c=1$ を用い、計量の符号の流儀は $(-,+)$ とする。座標 $(t,x)$（$t>0$）をもつ 2 次元時空の計量が
$$d{s}^2=-d{t}^2+t^{2p}d{x}^2$$
で与えられている。ここで $p$ は実数の定数である。リーマンテンソルを
$$R^{\rho }{}_{\sigma \mu \nu }={\partial }_{\mu }{\Gamma }_{\nu \sigma }^{\rho }-{\partial }_{\nu }{\Gamma }_{\mu \sigma }^{\rho }+{\Gamma }_{\mu \lambda }^{\rho }{\Gamma }_{\nu \sigma }^{\lambda }-{\Gamma }_{\nu \lambda }^{\rho }{\Gamma }_{\mu \sigma }^{\lambda }$$
で定め、リッチテンソルを $R_{\sigma \nu }=R^{\mu }{}_{\sigma \mu \nu }$、リッチスカラーを $R=g^{\sigma \nu }{R}_{\sigma \nu }$ とする。ここで ${\Gamma }_{\mu \nu }^{\rho }$ はレビ・チビタ接続のクリストッフェル記号である。リッチスカラー $R$ を $p$ と $t$ で表せ。

自然単位系 $c=1$ を用い、計量の符号の流儀は $(-,+)$ とする。座標 $(t,x)$ をもつ 2 次元時空の計量が
$$d{s}^2=-e^{2kx}d{t}^2+d{x}^2$$
で与えられている。ここで $k$ は正の定数である。

質量をもつ粒子が、ある時刻に $x=0$ で $\frac{dx}{d\tau }=0$ となっており、その後は時間的測地線に沿って運動する（$\tau$ は固有時、$u^{\mu }=\frac{d{x}^{\mu }}{d\tau }$）。粒子が $x=-L$（$L>0$ は定数）に達したときの $\left|\frac{dx}{d\tau }\right|$ を $k$ と $L$ で表せ。

自然単位系 $c=1$ を用い、計量の符号の流儀は $(-,+,+,+)$ とする。座標 $(t,x,y,z)$（$t>0$）をもつ 4 次元時空の計量が
$$d{s}^2=-d{t}^2+t^{4/3}\left(d{x}^2+d{y}^2+d{z}^2\right)$$
で与えられている（物質優勢の平坦な宇宙に対応する）。リーマンテンソルを
$$R^{\rho }{}_{\sigma \mu \nu }={\partial }_{\mu }{\Gamma }_{\nu \sigma }^{\rho }-{\partial }_{\nu }{\Gamma }_{\mu \sigma }^{\rho }+{\Gamma }_{\mu \lambda }^{\rho }{\Gamma }_{\nu \sigma }^{\lambda }-{\Gamma }_{\nu \lambda }^{\rho }{\Gamma }_{\mu \sigma }^{\lambda }$$
で定め（$\Gamma$ はレビ・チビタ接続のクリストッフェル記号）、$R_{\mu \nu \rho \sigma }=g_{\mu \lambda }{R}^{\lambda }{}_{\nu \rho \sigma }$ とする。クレッチマン・スカラー
$$K=R_{\mu \nu \rho \sigma }{R}^{\mu \nu \rho \sigma }$$
を $t$ で表せ。

単位系 $G=c=1$ を用い、計量の符号の流儀は $(-,+,+,+)$ とする。質量 $M$（$M>0$）の天体の外側の時空がシュワルツシルト計量
$$d{s}^2=-\left(1-\frac{2M}{r}\right)d{t}^2+{\left(1-\frac{2M}{r}\right)}^{-1}d{r}^2+r^2\left(d{\theta }^2+{\sin }^2\theta d{\varphi }^2\right)$$
で表されるとする。半径 $r=4M$ に静止した（$r,\theta ,\varphi$ が一定の）観測者 A が、自分の固有時で測って振動数 ${\nu }_A$ の光を放射状に外向きに送り出し、半径 $r=9M$ に静止した観測者 B がこれを受け取る。B が自分の固有時で測る振動数を ${\nu }_B$ とするとき、比 $\frac{{\nu }_B}{{\nu }_A}$ を求めよ。答えは分母を有理化した根号の形で書け。

単位系 $G=c=1$ を用い、計量の符号の流儀は $(-,+,+,+)$ とする。質量 $M$（$M>0$）のシュワルツシルト時空
$$d{s}^2=-\left(1-\frac{2M}{r}\right)d{t}^2+{\left(1-\frac{2M}{r}\right)}^{-1}d{r}^2+r^2\left(d{\theta }^2+{\sin }^2\theta d{\varphi }^2\right)$$
の赤道面 $\theta =\frac{\pi }{2}$ 上で、質量をもつ粒子が時間的測地線に沿って運動する。固有時を $\tau$、$\dot{}=\frac{d}{d\tau }$ とし、保存量を
$$\tilde{E}=\left(1-\frac{2M}{r}\right)\dot{t},\tilde{L}=r^2\dot{\varphi }$$
で定める。粒子が半径 $r=8M$ の円軌道を回っているとき、単位質量あたりのエネルギー $\tilde{E}$ を求めよ。答えは分母を有理化した根号の形で書け。

自然単位系 $c=1$ を用い、計量の符号の流儀は $(-,+,+,+)$ とする。$z$ 軸の正の向きに進む平面重力波があり、TT ゲージで計量が $g_{\mu \nu }={\eta }_{\mu \nu }+h_{\mu \nu }$ と書けて、ゼロでない成分が
$$h_{xx}=-h_{yy}=a\cos \omega (t-z),h_{xy}=h_{yx}=b\cos \omega (t-z)$$
であるとする。ここで $a$, $b$ は実数の定数で $|a|,|b|\ll 1$、$\omega >0$ である。

$z=0$ の平面上に、自由粒子 P が原点 $(x,y)=(0,0)$ に、自由粒子 Q が $(x,y)=\left(L\cos \frac{\pi }{6},L\sin \frac{\pi }{6}\right)$ に静止している（TT ゲージでは自由粒子の座標は重力波があっても変わらない）。$L$ は重力波の波長 $\frac{2\pi }{\omega }$ よりも十分小さい正の定数とする。時刻 $t=0$ における P, Q 間の固有距離を $L+\delta L$ と書くとき、$\frac{\delta L}{L}$ を $a$, $b$ の 1 次までで求めよ。

単位系 $G=c=1$ を用い、計量の符号の流儀は $(-,+,+,+)$ とする。質量 $M$（$M>0$）のシュワルツシルト時空
$$d{s}^2=-\left(1-\frac{2M}{r}\right)d{t}^2+{\left(1-\frac{2M}{r}\right)}^{-1}d{r}^2+r^2\left(d{\theta }^2+{\sin }^2\theta d{\varphi }^2\right)$$
の赤道面 $\theta =\frac{\pi }{2}$ 上を、質量をもつ粒子が時間的測地線に沿って運動している。固有時を $\tau$、$\dot{}=\frac{d}{d\tau }$ とし、保存量 $\tilde{E}=\left(1-\frac{2M}{r}\right)\dot{t}$, $\tilde{L}=r^2\dot{\varphi }$ を用いると、動径方程式は
$${\dot{r}}^2={\tilde{E}}^2-V(r),V(r)=\left(1-\frac{2M}{r}\right)\left(1+\frac{{\tilde{L}}^2}{r^2}\right)$$
となる。

粒子の軌道は半径 $r_0=8M$ の円軌道からわずかにずれており、$r$ は $r_0$ のまわりで微小な振動をしている。$r$ が最小になる点（近点）を通過してから次に近点を通過するまでの間に、方位角 $\varphi$ が増える量 $\Delta \varphi$ を、動径振動の振幅についての最低次の近似で求めよ。

単位系 $G=c=1$ を用い、計量の符号の流儀は $(-,+,+,+)$ とする。質量 $M$（$M>0$）のシュワルツシルト時空
$$d{s}^2=-\left(1-\frac{2M}{r}\right)d{t}^2+{\left(1-\frac{2M}{r}\right)}^{-1}d{r}^2+r^2\left(d{\theta }^2+{\sin }^2\theta d{\varphi }^2\right)$$
の赤道面 $\theta =\frac{\pi }{2}$ 上を光が進む。アフィン・パラメータを $\lambda$ とし、保存量を $E=\left(1-\frac{2M}{r}\right)\frac{dt}{d\lambda }$, $L=r^2\frac{d\varphi }{d\lambda }$、衝突径数を $b=\frac{L}{E}$ とする。

無限遠から衝突径数 $b=4\sqrt{2}M$ で入射した光が、ブラックホールに最も近づくときの半径 $r_{\min }$ を $M$ で表せ。

単位系 $G=c=1$（電荷はガウス単位系に合わせて規格化）を用い、計量の符号の流儀は $(-,+,+,+)$ とする。質量 $M$（$M>0$）、電荷 $Q$ の帯電ブラックホール（ライスナー・ノルドシュトローム時空）の計量は
$$d{s}^2=-f(r)d{t}^2+\frac{d{r}^2}{f(r)}+r^2\left(d{\theta }^2+{\sin }^2\theta d{\varphi }^2\right),f(r)=1-\frac{2M}{r}+\frac{Q^2}{r^2}$$
で与えられる。$Q^2=\frac{3}{4}{M}^2$ のとき、外側の事象の地平面 $r=r_{+}$ での表面重力 $\kappa =\frac{1}{2}{f}^{\prime }(r_{+})$ を $M$ で表せ。

質量 $m$ の 2 つの質点が、長さ $2d$ の質量の無視できる棒の両端に固定されている。棒の中点を原点とし、棒は $xy$ 平面内で $z$ 軸のまわりを一定の角速度 $\omega$ で回転している。時刻 $t$ における 2 つの質点の位置は
$${\mathbf{x}}_{\pm }(t)=\pm d(\cos \omega t,\sin \omega t,0)$$
である。運動はニュートン力学的（$d\omega \ll c$）とし、重力波の放射率（単位時間に放射されるエネルギー）は四重極公式
$$P=\frac{G}{5c^5}⟨{\stackrel{...}{Q}}_{ij}{\stackrel{...}{Q}}_{ij}⟩,Q_{ij}=\sum _{\text{質点}}m\left(x_i{x}_j-\frac{1}{3}{\delta }_{ij}{r}^2\right)$$
で与えられるとする。ここで $G$ は万有引力定数、$c$ は光速、$⟨⟩$ は 1 周期についての時間平均を表し、$i,j$ については $1$ から $3$ まで和をとる。放射の反作用による回転の変化は無視する。このときの放射率 $P$ を $G,c,m,d,\omega$ を用いて表せ。

自然単位系 $G=c=\hslash =k_B=1$ を用い、計量の符号は $(-,+,+,+)$ とする。質量 $M>0$ のシュワルツシルト・ブラックホール
$$d{s}^2=-f(r)d{t}^2+\frac{d{r}^2}{f(r)}+r^2\left(d{\theta }^2+{\sin }^2\theta d{\varphi }^2\right),f(r)=1-\frac{2M}{r}$$
を考える。ホーキング温度は表面重力 $\kappa$ を用いて $T=\frac{\kappa }{2\pi }$ で与えられ、表面重力は $\kappa =\frac{1}{2}{f}^{\prime }(r_{+})$（$r_{+}$ は事象の地平面の半径）で計算できるとする。このブラックホールの熱容量 $C=\frac{dM}{dT}$ を $M$ を用いて表せ。

質量 $M$、長さ $L$ の一様で細い剛体棒の両端に、質量 $m$ の質点が 1 つずつ固定されている。この物体が、棒の中点を通り棒に垂直な軸のまわりに、一定の角速度 $\omega$ で回転している。回転の速さは光速 $c$ に比べて十分小さく、重力は十分弱いとする（線形化重力）。棒の太さは無視する。

放射される重力波の全エネルギー放出率（単位時間あたりに放射されるエネルギー）$P$ を、次の四重極公式を用いて求めよ。
$$P=\frac{G}{5c^5}⟨{\stackrel{...}{Q}}_{ij}{\stackrel{...}{Q}}_{ij}⟩,Q_{ij}=\int \rho (\mathbf{x})\left(x_i{x}_j-\frac{1}{3}{\delta }_{ij}{r}^2\right)d^{3}x$$
ここで $G$ は万有引力定数、$\rho$ は質量密度、$⟨\cdots ⟩$ は時間平均、添字 $i,j$ については $1$ から $3$ まで和をとる。答えは $G,c,M,m,L,\omega$ を用いて表せ。

$c=1$ の単位系を用い、計量の符号は $(-,+)$ とする。$1+1$ 次元のド・ジッター時空を平坦スライスで表した計量
$$d{s}^2=-d{t}^2+e^{2Ht}d{x}^2(H>0\text{は定数})$$
を考える。質量をもつ自由粒子が時間的測地線に沿って運動している。この粒子は時刻 $t=0$ に $x=0$ を通過する。そのとき、その場所で静止している共動観測者（$x$ 一定の観測者）が測った粒子の速さは $v$（$0<v<1$）で、向きは $+x$ 方向である。

この時空がもつキリングベクトルを用いて、$t\to \infty$ における粒子の共動座標の極限値 $x_{\infty }=\underset{t\to \infty }{\lim }x(t)$ を $v,H$ で表せ。

$2+1$ 次元時空の計量
$$d{s}^2=-d{t}^2+t^{2p}d{x}^2+t^{2q}d{y}^2$$
を考える。ここで $t>0$、$p,q$ は実数の定数、$c=1$ とし、計量の符号は $(-,+,+)$ とする。曲率の定義は
$$R^{\rho }{}_{\sigma \mu \nu }={\partial }_{\mu }{\Gamma }_{\nu \sigma }^{\rho }-{\partial }_{\nu }{\Gamma }_{\mu \sigma }^{\rho }+{\Gamma }_{\mu \lambda }^{\rho }{\Gamma }_{\nu \sigma }^{\lambda }-{\Gamma }_{\nu \lambda }^{\rho }{\Gamma }_{\mu \sigma }^{\lambda },R_{\mu \nu }=R^{\rho }{}_{\mu \rho \nu },R=g^{\mu \nu }{R}_{\mu \nu }$$
とし、$\Gamma$ はレビ＝チビタ接続とする。このときリッチスカラー $R$ を $p,q,t$ で表せ。

質量 $M$ のシュワルツシルト時空を考える。$G=c=1$ の単位系を用い、計量の符号は $(-,+,+,+)$ とする。線素は
$$d{s}^2=-\left(1-\frac{2M}{r}\right)d{t}^2+{\left(1-\frac{2M}{r}\right)}^{-1}d{r}^2+r^2\left(d{\theta }^2+{\sin }^2\theta d{\varphi }^2\right)$$
である。赤道面 $\theta =\pi /2$ 内を運動する質点（静止質量 $m$、$m\ll M$ で時空への反作用は無視する）の時間的測地線を考え、固有時を $\tau$、4 元速度を $u^{\mu }=d{x}^{\mu }/d\tau$ として、保存量 $\tilde{E}=-u_t$（単位静止質量あたりのエネルギー）と $\tilde{L}=u_{\varphi }$（単位静止質量あたりの角運動量）を定める。

半径 $r_0$ の安定な円軌道から、$\tilde{L}$ を変えずにわずかに半径方向へずらした、離心率が十分小さい軌道（円軌道まわりの線形摂動で記述できる軌道）を考える。この軌道は、半径方向にちょうど $2$ 回振動する間に $\varphi$ がちょうど $3\times 2\pi$ だけ増加して閉じるという。このときの円軌道（半径 $r_0$）の $\tilde{E}$ の値を、根号を含む正確な形で求めよ。

自然単位系 $G=c=\hslash =k_B=1$ を用い、計量の符号を $(-,+,+,+)$ とする。質量 $M(>0)$、角運動量 $J$ のカー・ブラックホールの計量は、ボイヤー・リンキスト座標で
$$d{s}^2=-\left(1-\frac{2Mr}{\Sigma }\right)d{t}^2-\frac{4Mar{\sin }^2\theta }{\Sigma }dtd\varphi +\frac{\Sigma }{\Delta }d{r}^2+\Sigma d{\theta }^2+\left(r^2+a^2+\frac{2M{a}^{2}r{\sin }^2\theta }{\Sigma }\right){\sin }^2\theta d{\varphi }^2$$
で与えられる。ここで $a=J/M$, $\Sigma =r^2+a^2{\cos }^2\theta$, $\Delta =r^2-2Mr+a^2$ であり、$0\le a<M$ とする。

このブラックホールのホーキング温度を $T=\kappa /(2\pi )$（$\kappa$ は事象の地平面の表面重力）、ベッケンシュタイン・ホーキング・エントロピーを $S=A/4$（$A$ は事象の地平面の面積）とする。角運動量 $J$ を一定に保ったときの熱容量
$$C_J=T{\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)}_J$$
を、$J=\frac{\sqrt{3}}{2}{M}^2$ の状態において $M$ を用いて表せ。

4 次元時空 $(t,x,y,z)$ で、次の計量を考える。
$$d{s}^2=-d{t}^2+e^{2Ht}d{x}^2+t^2\left(d{y}^2+d{z}^2\right)$$
ここで $H$ は正の定数、$t>0$ とする。光速は $c=1$、計量の符号は $(-,+,+,+)$ とする。リーマンテンソルは $R^{\rho }{}_{\sigma \mu \nu }={\partial }_{\mu }{\Gamma }_{\nu \sigma }^{\rho }-{\partial }_{\nu }{\Gamma }_{\mu \sigma }^{\rho }+{\Gamma }_{\mu \lambda }^{\rho }{\Gamma }_{\nu \sigma }^{\lambda }-{\Gamma }_{\nu \lambda }^{\rho }{\Gamma }_{\mu \sigma }^{\lambda }$ で定義する。

この時空のクレッチマン・スカラー $K=R_{\mu \nu \rho \sigma }{R}^{\mu \nu \rho \sigma }$ を $H$ と $t$ の式で求めよ。

質量 $M$ の天体がつくるシュワルツシルト時空
$$d{s}^2=\left(1-\frac{2M}{r}\right)d{t}^2-{\left(1-\frac{2M}{r}\right)}^{-1}d{r}^2-r^2\left(d{\theta }^2+{\sin }^2\theta d{\varphi }^2\right)$$
を考える。単位系は $G=c=1$、計量の符号は $(+,-,-,-)$ とする。

質量をもつ試験粒子が赤道面 $\theta =\pi /2$ 内で、半径 $r_0(>6M)$ の安定な円軌道を回っている。この粒子に、角運動量 $L$（単位質量あたり）を変えずに微小な動径方向の摂動を加えると、軌道はわずかに楕円的になり、動径座標 $r$ は円軌道の値のまわりで微小振動する。

動径座標が 1 回振動する間（ある近点から次の近点まで）に、粒子が掃く方位角 $\Delta \varphi$ がちょうど $4\pi$ になる（すなわち、近点の移動角が 1 回の動径振動あたりちょうど $2\pi$ になる）とき、$r_0/M$ の値を求めよ。摂動については 1 次の近似で考えてよい。

自然単位系 $G=c=\hslash =k_B=1$ とし、電磁気はガウス単位系（$4\pi {\epsilon }_0=1$）で表す。計量の符号は $(-,+,+,+)$ とする。質量 $M$、電荷 $Q$ のライスナー・ノルドシュトロム・ブラックホールの計量は
$$d{s}^2=-f(r)d{t}^2+\frac{d{r}^2}{f(r)}+r^2\left(d{\theta }^2+{\sin }^2\theta d{\varphi }^2\right),f(r)=1-\frac{2M}{r}+\frac{Q^2}{r^2}$$
で与えられる。ここで $0<Q<M$（極限でないブラックホール）とする。外側の地平面 $r=r_{+}$ における表面重力 $\kappa$ からホーキング温度 $T=\kappa /(2\pi )$ が定まる。

電荷 $Q$ を一定に保ったときの熱容量 $C_Q={\left(\frac{\partial M}{\partial T}\right)}_Q$ が発散する（符号を変える）ときの比 $Q/M$ の値を、根号を用いた正確な値で求めよ。

平坦な時空 $(+,-,-,-)$ のまわりの線形化重力を考える。質量の無視できる長さ $2l$ の剛体棒の両端に、質量 $m$ の質点が 1 個ずつ固定されている。棒の中点は原点に固定されている。棒は $z$ 軸と一定の角 $\alpha$ $(0<\alpha <\pi /2)$ をなしたまま、外部の機構によって $z$ 軸のまわりを一定の角速度 $\omega$ で回転させられている。すなわち、2 つの質点の位置は
$${\mathbf{x}}_{\pm }(t)=\pm l(\sin \alpha \cos \omega t,\sin \alpha \sin \omega t,\cos \alpha )$$
である。質点どうしの重力と回転を支える機構の質量は無視し、$l\omega \ll c$ とする。万有引力定数を $G$、光速を $c$ とする。

最低次の四重極公式を用いて、この系が重力波として放出する全エネルギー放出率 $P$（単位時間あたりに放出されるエネルギーの時間平均）を $G,c,m,l,\omega ,\alpha$ で表せ。