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一般相対論の問題

難易度 1大学院の講義の例題レベル大学院物理一般相対論

自然単位系 $c = 1$ を用い、計量の符号の流儀は $(-, +, +, +)$ とする。座標 $(t, x, y, z)$ （ $t > 0$ ）をもつ 4 次元時空の計量が
$d s^{2} = - d t^{2} + t^{4/3} (d x^{2} + d y^{2} + d z^{2})$
で与えられている（物質優勢の平坦な宇宙に対応する）。リーマンテンソルを
$R^{ρ}_{σ μν} = \partial_{μ} Γ_{ν σ}^{ρ} - \partial_{ν} Γ_{μ σ}^{ρ} + Γ_{μ λ}^{ρ} Γ_{ν σ}^{λ} - Γ_{ν λ}^{ρ} Γ_{μ σ}^{λ}$
で定め（ $Γ$ はレビ・チビタ接続のクリストッフェル記号）、 $R_{μν ρ σ} = g_{μ λ} R^{λ}_{ν ρ σ}$ とする。クレッチマン・スカラー
$K = R_{μν ρ σ} R^{μν ρ σ}$
を $t$ で表せ。

この問題で使うもの

クレッチマン・スカラーと曲率の不変量（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（97 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

技能「クレッチマン・スカラーと曲率の不変量」を使う。正規直交基底でのリーマンテンソルの独立成分 $R_{t^i^t^i^}$ と $R_{i^j^i^j^}$ を求め、 $K = 4 \sum_{a < b} R_{a^b^a^b^}^{2}$ で和をとる。

ヒント 2

$a = t^{2/3}$ とおくと、 $R_{t^i^t^i^} = - \frac{a ¨}{a}$ 、 $R_{i^j^i^j^} = (\frac{a ˙}{a})^{2}$ となる。

ヒント 3

$\frac{a ˙}{a} = \frac{2}{3 t}$ 、 $\frac{a ¨}{a} = - \frac{2}{9 t ^{2}}$ 。時間と空間の組は 3 つ、空間どうしの組も 3 つある。

答えと解説

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\frac{80}{27 t ^{4}}

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解説を読む

$a (t) = t^{2/3}$ とおくと $d s^{2} = - d t^{2} + a^{2} (d x^{2} + d y^{2} + d z^{2})$ である（ $a ˙ = \frac{d a}{d t}$ ）。

クリストッフェル記号 ゼロでない成分は（ $i = x, y, z$ ）
$Γ_{ii}^{t} = a a ˙, Γ_{t i}^{i} = Γ_{i t}^{i} = \frac{a ˙}{a} .$

リーマンテンソルの独立成分 計量は対角で $t$ だけに依存するので、ゼロでない成分は $R_{a^b^a^b^}$ 型（とその対称性で移るもの）だけである。

- 時間と空間の組: $R^{t}_{i t i} = \partial_{t} Γ_{ii}^{t} - Γ_{ii}^{t} Γ_{t i}^{i} = (a ˙^{2} + a a ¨) - a ˙^{2} = a a ¨$ 。添字を下げて $R_{t i t i} = g_{tt} R^{t}_{i t i} = - a a ¨$ 。正規直交基底 $e_{t^} = \partial_{t}$ , $e_{i^} = a^{- 1} \partial_{i}$ では
$R_{t^i^t^i^} = \frac{- a a ¨}{a ^{2}} = - \frac{a ¨}{a} .$
- 空間どうしの組（ $i \neq = j$ ）: $R^{i}_{j ij} = Γ_{i t}^{i} Γ_{j j}^{t} = \frac{a ˙}{a} \cdot a a ˙ = a ˙^{2}$ （ほかの項は $0$ ）。 $R_{ij ij} = a^{2} a ˙^{2}$ で、正規直交基底では
$R_{i^j^i^j^} = \frac{a ^{2} a ˙ ^{2}}{a ^{4}} = \frac{a ˙ ^{2}}{a ^{2}} .$

値を代入 $a = t^{2/3}$ より $\frac{a ˙}{a} = \frac{2}{3 t}$ 、 $a ¨ = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3}) t^{- 4/3}$ なので $\frac{a ¨}{a} = - \frac{2}{9 t ^{2}}$ 。よって
$R_{t^i^t^i^} = \frac{2}{9 t ^{2}}, R_{i^j^i^j^} = \frac{4}{9 t ^{2}} .$

和を組み立てる 正規直交基底では添字の上げ下げは符号しか変えず、各成分は 2 乗で入る。 $R_{a^b^a^b^}$ 型の成分 1 つにつき、 $R_{abab}, R_{baba}, R_{abba}, R_{baab}$ の 4 通りの並べ方があるので
$K = 4 a < b \sum R_{a^b^a^b^}^{2} .$
組は $(t^, i^)$ が 3 つ、 $(i^, j^)$ が 3 つなので
$K = 4 [3 (\frac{2}{9 t ^{2}})^{2} + 3 (\frac{4}{9 t ^{2}})^{2}] = 12 \cdot \frac{4 + 16}{81 t ^{4}} = \frac{240}{81 t ^{4}} = \frac{80}{27 t ^{4}} .$

（ $K$ はスカラーで座標によらないので、 $t \to 0$ で $K \to \infty$ となることから、 $t = 0$ は座標の取り方によらない真の特異点（ビッグバン特異点）である。）

別解

平坦な FRW 計量 $d s^{2} = - d t^{2} + a^{2} d x^{2}$ では、リーマンテンソルの独立成分は $R_{0 i 0 j} = - a a ¨ δ_{ij}$ 、 $R_{ij k l} = a ˙^{2} a^{2} (δ_{ik} δ_{j l} - δ_{i l} δ_{j k})$ （正規直交基底では $R_{0^i^0^j^} = - \frac{a ¨}{a} δ_{ij}$ 、 $R_{i^j^k^l^} = \frac{a ˙ ^{2}}{a ^{2}} (δ_{ik} δ_{j l} - δ_{i l} δ_{j k})$ ）。
$K = 4 \sum_{i} (\frac{a ¨}{a})^{2} + 4 \cdot 3 \cdot (\frac{a ˙}{a})^{4}$ ではなく数え上げると、 $R_{0 i 0 j}$ 型は添字の入れ替えで 4 通りあり $4 \cdot 3 (a ¨ / a)^{2} = 12 (a ¨ / a)^{2}$ 。 $R_{ij k l}$ 型は $4 \cdot 3 (a ˙ / a)^{4}$ （ $i \neq = j$ の組 6 個に 2 通りずつ、さらに入れ替え 2 通りで $12$ 個の和）なので $12 (a ˙ / a)^{4}$ 。よって
$K = 12 [(\frac{a ¨}{a})^{2} + (\frac{a ˙}{a})^{4}]$ 。
検算: de Sitter（ $a = e^{H t}$ ）で $12 (H^{4} + H^{4}) = 24 H^{4}$ となり、4 次元 de Sitter のクレッチマン $K = 24 H^{4}$ と一致。
$a = t^{2/3}$ のとき $\frac{a ˙}{a} = \frac{2}{3 t}$ 、 $\frac{a ¨}{a} = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3}) \frac{1}{t ^{2}} = - \frac{2}{9 t ^{2}}$ 。
$K = 12 [\frac{4}{81 t ^{4}} + \frac{16}{81 t ^{4}}] = 12 \cdot \frac{20}{81 t ^{4}} = \frac{80}{27 t ^{4}}$ 。

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