クレッチマン・スカラーと曲率の不変量

対角計量で、リーマンテンソルの独立成分（正規直交基底での $R_{a^b^a^b^}$ ）を求めて $K = R_{μν ρ σ} R^{μν ρ σ} = 4 \sum_{a < b} R_{a^b^a^b^}^{2} + \dots$ のように和を組み立て、クレッチマン・スカラーの値（例: シュワルツシルト時空の $\frac{48 M ^{2}}{r ^{6}}$ ）を計算し、座標特異点と真の特異点を判定できる

前提

リーマンテンソル・リッチテンソル・リッチスカラー（大学院物理一般相対論）

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算数中学高校大学大学院

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リーマンテンソル・リッチテンソル・リッチスカラー（大学院物理一般相対論）

説明

計量の成分が無限大や $0$ になる点があっても、それが本当に時空が壊れている点（真の特異点）なのか、座標の選び方が悪いだけ（座標特異点）なのかは、成分を見ただけではわかりません。そこで、どの座標で計算しても同じ値になる曲率の不変量を使います。代表がクレッチマン・スカラー $K = R_{μν ρ σ} R^{μν ρ σ}$ で、リッチテンソルが $0$ になる真空解でも $0$ にならず、曲率の強さを測れます。この技能では、対角計量について正規直交基底でのリーマンテンソルの成分を求め、その 2 乗和として $K$ を組み立て（シュワルツシルト時空なら $K = 48 M^{2} / r^{6}$ ）、特異点の種類を判定します。

なぜそうしてよいのか

$K = R_{μν ρ σ} R^{μν ρ σ}$ は添字をすべて縮約したスカラーなので、座標変換で値が変わりません。したがって、ある点で $K$ が発散すれば、どんな座標をとってもその点の曲率は有限にできず、真の（曲率）特異点です。逆に、計量の成分が発散するのに $K$ が有限なら、座標特異点である可能性が高い、という目安になります（厳密に正則であることを示すには、正則になる座標を実際に見つける必要があります）。

対角計量 $d s^{2} = \sum_{a} g_{aa} (d x^{a})^{2}$ では、各座標方向の長さを $1$ にそろえた正規直交基底 $e_{a^} = \frac{1}{∣ g _{aa} ∣} \partial_{a}$ を使うと計算が整理されます。この基底では計量が $η = diag (- 1, 1, \dots, 1)$ になり、添字の上げ下げは時間の添字 $0^$ ごとに符号が変わるだけです。成分の変換は $R_{a^b^a^b^} = \frac{R _{abab}}{∣ g _{aa} ∣∣ g _{bb} ∣}$ 、 $R_{abab} = g_{aa} R^{a}_{bab}$ です（和はとらない）。リーマンテンソルの対称性 $R_{ab c d} = - R_{ba c d} = - R_{ab d c} = R_{c d ab}$ から、組 ${a, b}$ が決まると $R_{a^b^a^b^}, R_{b^a^b^a^}, R_{a^b^b^a^}, R_{b^a^a^b^}$ の 4 つが同じ大きさ（ $\pm$ ）で現れます。また $R^{a^b^a^b^} = η^{aa} η^{bb} η^{aa} η^{bb} R_{a^b^a^b^} = R_{a^b^a^b^}$ で符号は変わりません。よって、ゼロでない成分がこの形だけなら
$K = 4 a < b \sum R_{a^b^a^b^}^{2}$
です。 $R_{a^b^a^c^}$ （ $b \neq = c$ ）のような別の形の成分があれば、それも同じように多重度を数えて加えます（ $0^$ を奇数個含む成分は、上げると符号が反転するので負の寄与になります。ローレンツ計量では $K$ は正とは限りません）。

シュワルツシルト時空 $- (1 - \frac{2 M}{r}) d t^{2} + \frac{d r ^{2}}{1 - 2 M / r} + r^{2} d Ω^{2}$ （ $G = c = 1$ ）では、ゼロでない独立成分が $R_{t^r^t^r^} = - \frac{2 M}{r ^{3}}$ 、 $R_{t^θ^t^θ^} = R_{t^ϕ^t^ϕ^} = \frac{M}{r ^{3}}$ 、 $R_{r^θ^r^θ^} = R_{r^ϕ^r^ϕ^} = - \frac{M}{r ^{3}}$ 、 $R_{θ^ϕ^θ^ϕ^} = \frac{2 M}{r ^{3}}$ で、 $K = 4 \cdot \frac{M ^{2}}{r ^{6}} (4 + 1 + 1 + 1 + 1 + 4) = \frac{48 M ^{2}}{r ^{6}}$ 。 $r = 2 M$ では $K = \frac{3}{4 M ^{4}}$ と有限で、 $g_{r r}$ の発散は座標特異点（実際、座標を取り替えると正則になる）、 $r \to 0$ では $K \to \infty$ で真の特異点です。

手順

計量と符号の流儀を確認し、クリストッフェル記号から、ゼロでないリーマンテンソルの成分 $R^{a}_{bab}$ をすべての組 $a < b$ について求める（ほかの形の成分がないかも確かめる）
正規直交基底の成分に直す: $R_{a^b^a^b^} = \frac{g _{aa} R ^{a} _{bab}}{∣ g _{aa} ∣∣ g _{bb} ∣}$
2 乗和を組み立てる: $K = 4 \sum_{a < b} R_{a^b^a^b^}^{2}$ （ほかの形の成分があれば多重度と符号をつけて加える）
$K$ が発散する点は真の特異点、計量の成分が発散しても $K$ が有限な点は座標特異点の候補と判定する

例題

$c = 1$ 、計量の符号を $(-, +, +)$ とし、3 次元の時空 $d s^{2} = - d t^{2} + t^{2 p} d x^{2} + t^{2 q} d y^{2}$ （ $t > 0$ 、 $p, q$ は実定数）を考える。リーマンテンソルを $R^{ρ}_{σ μν} = \partial_{μ} Γ_{ν σ}^{ρ} - \partial_{ν} Γ_{μ σ}^{ρ} + Γ_{μ λ}^{ρ} Γ_{ν σ}^{λ} - Γ_{ν λ}^{ρ} Γ_{μ σ}^{λ}$ で定義するとき、クレッチマン・スカラー $K = R_{μν ρ σ} R^{μν ρ σ}$ を $p, q, t$ で表せ。

例題の解答

手順 1: $a = t^{p}$ 、 $b = t^{q}$ とおく。ゼロでないクリストッフェル記号は $Γ_{xx}^{t} = a a ˙$ 、 $Γ_{y y}^{t} = b b ˙$ 、 $Γ_{t x}^{x} = a ˙ / a$ 、 $Γ_{t y}^{y} = b ˙ / b$ （と下添字の入れ替え）。これから
$R^{t}_{x t x} = \partial_{t} (a a ˙) - Γ_{xx}^{t} Γ_{t x}^{x} = a a ¨$ 、同様に $R^{t}_{y t y} = b b ¨$ 、
$R^{x}_{y x y} = Γ_{x t}^{x} Γ_{y y}^{t} = \frac{a ˙}{a} b b ˙$ 。
$R^{t}_{x t y}$ などほかの形の成分は、計量が $t$ だけに依存し対角なので $0$ 。

手順 2: $g_{tt} = - 1$ 、 $g_{xx} = a^{2}$ 、 $g_{y y} = b^{2}$ より
$R_{t^x^t^x^} = \frac{( - 1 ) a a ¨}{a ^{2}} = - \frac{a ¨}{a} = - \frac{p ( p - 1 )}{t ^{2}}$ 、
$R_{t^y^t^y^} = - \frac{b ¨}{b} = - \frac{q ( q - 1 )}{t ^{2}}$ 、
$R_{x^y^x^y^} = \frac{a ^{2} \cdot a ˙ b b ˙ / a}{a ^{2} b ^{2}} = \frac{a ˙ b ˙}{ab} = \frac{pq}{t ^{2}}$ 。

手順 3:
$K = 4 [\frac{p ^{2} ( p - 1 ) ^{2}}{t ^{4}} + \frac{q ^{2} ( q - 1 ) ^{2}}{t ^{4}} + \frac{p ^{2} q ^{2}}{t ^{4}}] = \frac{4 [ p ^{2} ( p - 1 ) ^{2} + q ^{2} ( q - 1 ) ^{2} + p ^{2} q ^{2} ]}{t ^{4}} .$

手順 4: 括弧の中が $0$ でなければ $t \to 0$ で $K \to \infty$ となり、 $t = 0$ は真の特異点。括弧の中が $0$ になるのは $(p, q) = (0, 0), (1, 0), (0, 1)$ のときで、例えば $(p, q) = (1, 0)$ の $- d t^{2} + t^{2} d x^{2} + d y^{2}$ は平らな時空を座標変換したものなので $t = 0$ は座標特異点である。

答え: $\frac{4 [ p ^{2} ( p - 1 ) ^{2} + q ^{2} ( q - 1 ) ^{2} + p ^{2} q ^{2} ]}{t ^{4}}$

よくある誤り

多重度の $4$ を落として $K = \sum_{a < b} R_{a^b^a^b^}^{2}$ としてしまう誤り。1 つの組 ${a, b}$ から $R_{a^b^a^b^}, R_{b^a^b^a^}, R_{a^b^b^a^}, R_{b^a^a^b^}$ の 4 成分が出るので、正しくは $K = 4 \sum_{a < b} R_{a^b^a^b^}^{2}$ 。シュワルツシルト時空で $\frac{12 M ^{2}}{r ^{6}}$ となったらこの誤り
座標成分のまま 2 乗して足してしまう誤り。例えば $R^{t}_{x t x} = a a ¨$ をそのまま 2 乗すると $a$ の因子が残る。添字の上げ下げを正しく行うか、正規直交基底 $R_{a^b^a^b^} = \frac{g _{aa} R ^{a} _{bab}}{∣ g _{aa} ∣∣ g _{bb} ∣}$ に直してから 2 乗する
計量の成分が発散する点をすべて真の特異点としてしまう誤り。シュワルツシルト時空の $r = 2 M$ では $g_{r r} \to \infty$ だが $K = \frac{48 M ^{2}}{( 2 M ) ^{6}} = \frac{3}{4 M ^{4}}$ と有限で、座標特異点。真の特異点と言えるのは $K$ のような不変量が発散する $r = 0$
$K$ が有限なら必ず正則だと断定してしまう誤り。不変量が有限であることは正則であることの目安にすぎず、厳密には正則な座標を見つけて確かめる必要がある（一方、不変量が発散すれば真の特異点と断定してよい）

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
自然単位系 $c = 1$ を用い、計量の符号の流儀は $(-, +, +, +)$ とする。座標 $(t, x, y, z)$ （ $t > 0$ ）をもつ 4 次元時空の計量が
$d s^{2} = - d t^{2} + t^{4/3} (d x^{2} + d y^{2} + d z^{2})$
で与えられている（物質優勢の平坦な宇宙に対応する）。リーマンテンソルを
$R^{ρ}_{σ μν} = \partial_{μ} Γ_{ν σ}^{ρ} - \partial_{ν} Γ_{μ σ}^{ρ} + Γ_{μ λ}^{ρ} Γ_{ν σ}^{λ} - Γ_{ν λ}^{ρ} Γ_{μ σ}^{λ}$
で定め（ $Γ$ はレビ・チビタ接続のクリストッフェル記号）、 $R_{μν ρ σ} = g_{μ λ} R^{λ}_{ν ρ σ}$ とする。クレッチマン・スカラー
$K = R_{μν ρ σ} R^{μν ρ σ}$
を $t$ で表せ。

この技能を使う問題

難易度 3（大学院入試の専門科目の標準レベル）
4 次元時空 $(t, x, y, z)$ で、次の計量を考える。
$d s^{2} = - d t^{2} + e^{2 H t} d x^{2} + t^{2} (d y^{2} + d z^{2})$
ここで $H$ は正の定数、 $t > 0$ とする。光速は $c = 1$ 、計量の符号は $(-, +, +, +)$ とする。リーマンテンソルは $R^{ρ}_{σ μν} = \partial_{μ} Γ_{ν σ}^{ρ} - \partial_{ν} Γ_{μ σ}^{ρ} + Γ_{μ λ}^{ρ} Γ_{ν σ}^{λ} - Γ_{ν λ}^{ρ} Γ_{μ σ}^{λ}$ で定義する。
この時空のクレッチマン・スカラー $K = R_{μν ρ σ} R^{μν ρ σ}$ を $H$ と $t$ の式で求めよ。