空間曲線の曲率とねじれ率

${\mathbb{R}}^3$ に標準内積と標準的な向き（右手系）を入れ、外積 $\times$ はこの向きで定める。${\mathbb{R}}^3$ 内のつるまき線
$$\gamma (t)=(3\cos t,3\sin t,4t)(0\le t\le 2\pi )$$
を考える。$\gamma$ のねじれ率 $\tau$ は
$$\tau (t)=\frac{({\gamma }^{\prime }(t)\times {\gamma }^{\prime \prime }(t))\cdot {\gamma }^{\prime \prime \prime }(t)}{|{\gamma }^{\prime }(t)\times {\gamma }^{\prime \prime }(t){|}^2}$$
で定める（これは従法線ベクトル $\mathbf{b}$ と主法線ベクトル $\mathbf{n}$ について、弧長 $s$ に関して $\frac{d\mathbf{b}}{ds}=-\tau \mathbf{n}$ となる規約に一致する）。弧長要素を $ds=|{\gamma }^{\prime }(t)|dt$ とするとき、全ねじれ率
$${\int }_{\gamma }\tau ds={\int }_0^{2\pi }\tau (t)|{\gamma }^{\prime }(t)|dt$$
を求めよ。

${\mathbb{R}}^3$ 内の曲線
$$\gamma (t)=\left(t,t^2,\frac{2}{3}{t}^3\right)(t\in \mathbb{R})$$
のねじれ率を $\tau (t)$ とする。曲線全体にわたる全ねじれ率
$${\int }_{-\infty }^{\infty }\tau (t)|{\gamma }^{\prime }(t)|dt$$
の値を求めよ。ただし、ねじれ率は $\tau =\frac{({\gamma }^{\prime }\times {\gamma }^{\prime \prime })\cdot {\gamma }^{\prime \prime \prime }}{|{\gamma }^{\prime }\times {\gamma }^{\prime \prime }{|}^2}$ で定める。

${\mathbb{R}}^3$ 内の曲線
$$c(t)=\left(t,\frac{t^2}{2},\frac{t^3}{3}\right)(t\in \mathbb{R})$$
を考える。$t=1$ に対応する点における曲率 $\kappa$ とねじれ率 $\tau$ の組 $(\kappa ,\tau )$ をこの順に求めよ。ただし、ねじれ率は $\tau =\frac{(c^{\prime }\times c^{\prime \prime })\cdot c^{\prime \prime \prime }}{|c^{\prime }\times c^{\prime \prime }{|}^2}$（フレネ・セレの公式で $\frac{d\mathbf{b}}{ds}=-\tau \mathbf{n}$ となる符号）で定める。

${\mathbb{R}}^3$ 内の曲線
$$c(t)=\left(e^t\cos t,e^t\sin t,e^t\right)(t\in \mathbb{R})$$
を考える。$c$ の $t$ に対応する点での曲率を $\kappa (t)$、ねじれ率を $\tau (t)$ とする。ただし、ねじれ率の符号は
$$\tau =\frac{\det (c^{\prime }(t),c^{\prime \prime }(t),c^{\prime \prime \prime }(t))}{|c^{\prime }(t)\times c^{\prime \prime }(t){|}^2}$$
で定める（右巻きの常螺旋 $(\cos t,\sin t,t)$ のねじれ率が正になる流儀）。このとき、比 $\frac{\tau (t)}{\kappa (t)}$ は $t$ によらない定数になる。その値を求めよ。

${\mathbb{R}}^3$ 内の曲線
$$c(t)=\left(2t,t^2,\log t\right)(t>0)$$
を考える。${\mathbb{R}}^3$ には標準内積と標準的な向きを入れ、ねじれ率 $\tau$ は $\tau =\frac{\det (c^{\prime },c^{\prime \prime },c^{\prime \prime \prime })}{|c^{\prime }\times c^{\prime \prime }{|}^2}$ と符号を定める。$t=1$ に対応する点 $(2,1,0)$ における曲率 $\kappa$ とねじれ率 $\tau$ を、組 $(\kappa ,\tau )$ の形でこの順に求めよ。

$S_1,S_2\subset {\mathbb{R}}^3$ を $C^{\infty }$ 級の正則曲面とし、$I\subset \mathbb{R}$ を開区間、$\gamma :I\to {\mathbb{R}}^3$ を弧長でパラメータ付けられた $C^{\infty }$ 級の曲線で、すべての $s\in I$ で $\gamma (s)\in S_1\cap S_2$ を満たすものとする。$\gamma$ の（空間曲線としての）曲率 $\kappa (s)=|{\gamma }^{\prime \prime }(s)|$ はすべての $s\in I$ で $\kappa (s)>0$ であるとする。

用語を次のように定める（$k=1,2$）。
- $\gamma$ が $S_k$ の測地線であるとは、すべての $s\in I$ で ${\gamma }^{\prime \prime }(s)$ が接平面 $T_{\gamma (s)}{S}_k$ に直交することをいう。
- $\gamma$ が $S_k$ の曲率線であるとは、$\gamma$ に沿う $S_k$ のある $C^{\infty }$ 級の単位法ベクトル場 $N:I\to {\mathbb{R}}^3$（各 $s$ で $|N(s)|=1$ かつ $N(s)\perp T_{\gamma (s)}{S}_k$）が存在して、すべての $s\in I$ で $N^{\prime }(s)$ が ${\gamma }^{\prime }(s)$ の実数倍になることをいう。

$\gamma$ が $S_1$ の測地線であり、かつ $S_2$ の測地線でもあるとする。このとき、すべての $s\in I$ で $T_{\gamma (s)}{S}_1=T_{\gamma (s)}{S}_2$ が成り立ち、さらに「$\gamma$ が $S_1$ の曲率線である」ことと「$\gamma$ が $S_2$ の曲率線である」ことが同値であることを証明せよ。

${\mathbb{R}}^3$ 内の曲線
$$c(t)=(\cosh t,\sinh t,t)(t\in \mathbb{R})$$
を考える。$c$ の各点での曲率を $\kappa$、弧長要素を $ds=|c^{\prime }(t)|dt$ とする。曲線全体にわたる全曲率
$${\int }_c\kappa ds={\int }_{-\infty }^{\infty }\kappa (t)|c^{\prime }(t)|dt$$
の値を求めよ。

$a>0$ を定数とし、円柱面 $Z=\{(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3:x^2+y^2=a^2\}$ を考える。$I\subset \mathbb{R}$ を開区間、$\gamma =({\gamma }_1,{\gamma }_2,{\gamma }_3):I\to {\mathbb{R}}^3$ を弧長でパラメータ付けられた（すべての $s$ で $|{\gamma }^{\prime }(s)|=1$ の）$C^{\infty }$ 級の曲線で、すべての $s\in I$ で $\gamma (s)\in Z$ を満たすものとし、その曲率を $\kappa (s)=|{\gamma }^{\prime \prime }(s)|$ とする。

なお、$C^{\infty }$ 級の写像 $\sigma :I\to {\mathbb{R}}^2$ がすべての $s$ で $|\sigma (s)|=a$ を満たすならば、$C^{\infty }$ 級の関数 $\theta :I\to \mathbb{R}$ があって $\sigma (s)=(a\cos \theta (s),a\sin \theta (s))$ と書けることは用いてよい。

次の 2 つを証明せよ。
- すべての $s\in I$ で $\kappa (s)\ge \frac{1-{\gamma }_3^{\prime }(s{)}^2}{a}$ が成り立つ。
- この不等式の等号がすべての $s\in I$ で成り立つための必要十分条件は、${\omega }^2{a}^2+c^2=1$ を満たす実数の定数 $c,\omega$ と実数の定数 $\phi ,d$ があって、すべての $s\in I$ で
$$\gamma (s)=(a\cos (\omega s+\phi ),a\sin (\omega s+\phi ),cs+d)$$
と書けることである。

${\mathbb{R}}^3$ に標準内積と標準的な向きを入れる。弧長 $s$ でパラメータ付けられた滑らかな曲線 $\gamma :[0,1]\to {\mathbb{R}}^3$ の曲率 $\kappa (s)$ とねじれ率 $\tau (s)$ が
$$\kappa (s)=\frac{1}{2\cos (\log (1+s))+\sin (\log (1+s))},\tau (s)=\frac{1}{1+s}(0\le s\le 1)$$
で与えられているとする。ここでフルネ枠 $(T,N,B)$ は正の向きの正規直交枠（$B=T\times N$）であり、フルネ・セレの公式
$$T^{\prime }=\kappa N,N^{\prime }=-\kappa T+\tau B,B^{\prime }=-\tau N\left({}^{\prime }=\frac{d}{ds}\right)$$
を満たすものとする。さらに初期条件
$$\gamma (0)=(0,0,0),T(0)=(1,0,0),N(0)=(0,1,0),B(0)=(0,0,1)$$
を課す（曲線論の基本定理により、このような $\gamma$ はただ一つ存在する）。

$\gamma$ の像はある球面にちょうど含まれ、そのような球面はただ一つであることが知られている。この球面の中心の座標を求めよ。