微分幾何の問題

$S_1,S_2\subset {\mathbb{R}}^3$ を $C^{\infty }$ 級の正則曲面とし、$I\subset \mathbb{R}$ を開区間、$\gamma :I\to {\mathbb{R}}^3$ を弧長でパラメータ付けられた $C^{\infty }$ 級の曲線で、すべての $s\in I$ で $\gamma (s)\in S_1\cap S_2$ を満たすものとする。$\gamma$ の（空間曲線としての）曲率 $\kappa (s)=|{\gamma }^{\prime \prime }(s)|$ はすべての $s\in I$ で $\kappa (s)>0$ であるとする。

用語を次のように定める（$k=1,2$）。
- $\gamma$ が $S_k$ の測地線であるとは、すべての $s\in I$ で ${\gamma }^{\prime \prime }(s)$ が接平面 $T_{\gamma (s)}{S}_k$ に直交することをいう。
- $\gamma$ が $S_k$ の曲率線であるとは、$\gamma$ に沿う $S_k$ のある $C^{\infty }$ 級の単位法ベクトル場 $N:I\to {\mathbb{R}}^3$（各 $s$ で $|N(s)|=1$ かつ $N(s)\perp T_{\gamma (s)}{S}_k$）が存在して、すべての $s\in I$ で $N^{\prime }(s)$ が ${\gamma }^{\prime }(s)$ の実数倍になることをいう。

$\gamma$ が $S_1$ の測地線であり、かつ $S_2$ の測地線でもあるとする。このとき、すべての $s\in I$ で $T_{\gamma (s)}{S}_1=T_{\gamma (s)}{S}_2$ が成り立ち、さらに「$\gamma$ が $S_1$ の曲率線である」ことと「$\gamma$ が $S_2$ の曲率線である」ことが同値であることを証明せよ。

${\mathbb{R}}^3$ に標準内積と標準的な向きを入れる。弧長 $s$ でパラメータ付けられた滑らかな曲線 $\gamma :[0,1]\to {\mathbb{R}}^3$ の曲率 $\kappa (s)$ とねじれ率 $\tau (s)$ が
$$\kappa (s)=\frac{1}{2\cos (\log (1+s))+\sin (\log (1+s))},\tau (s)=\frac{1}{1+s}(0\le s\le 1)$$
で与えられているとする。ここでフルネ枠 $(T,N,B)$ は正の向きの正規直交枠（$B=T\times N$）であり、フルネ・セレの公式
$$T^{\prime }=\kappa N,N^{\prime }=-\kappa T+\tau B,B^{\prime }=-\tau N\left({}^{\prime }=\frac{d}{ds}\right)$$
を満たすものとする。さらに初期条件
$$\gamma (0)=(0,0,0),T(0)=(1,0,0),N(0)=(0,1,0),B(0)=(0,0,1)$$
を課す（曲線論の基本定理により、このような $\gamma$ はただ一つ存在する）。

$\gamma$ の像はある球面にちょうど含まれ、そのような球面はただ一つであることが知られている。この球面の中心の座標を求めよ。

$S\subset {\mathbb{R}}^3$ を空でないコンパクトな $C^{\infty }$ 級正則曲面（境界をもたない 2 次元部分多様体）とし、$R>0$ を定数とする。$S$ は原点を中心とする半径 $R$ の閉球に含まれる、すなわちすべての $p\in S$ で $|p|\le R$ であるとする。

各点 $p\in S$ の近くで単位法ベクトル場 $N$ を 1 つ選び、第二基本形式を ${\mathrm{II}}_p(v)=-⟨d{N}_p(v),v⟩$（$v\in T_{p}S$）、ガウス曲率を $K(p)=\det (-d{N}_p)$ と定める（$K(p)$ は $N$ の向きの選び方によらない）。次の事実は用いてよい。
- $S$ 上の $C^{\infty }$ 級の曲線 $\alpha$ が弧長でパラメータ付けられ $\alpha (0)=p$ ならば、${\mathrm{II}}_p({\alpha }^{\prime }(0))=⟨{\alpha }^{\prime \prime }(0),N(p)⟩$ が成り立つ。
- $T_{p}S$ の単位ベクトル $v$ を動かしたときの ${\mathrm{II}}_p(v)$ の最大値 $k_1$ と最小値 $k_2$（主曲率）について $K(p)=k_1{k}_2$ が成り立つ。

このとき、$K(p_0)\ge \frac{1}{R^2}$ を満たす点 $p_0\in S$ が存在することを証明せよ。

${\mathbb{R}}^3$ 内の回転放物面
$$S=\{(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3\mid z=x^2+y^2\}$$
に ${\mathbb{R}}^3$ の標準内積から誘導される計量を入れる。$S$ 上の点 $P=(1,0,1)$ において、子午線方向で頂点 $(0,0,0)$ に近づく向きの単位接ベクトルを $m=\frac{1}{\sqrt{5}}(-1,0,-2)$、緯線方向の単位接ベクトルを $e=(0,1,0)$ とする。

$\gamma :\mathbb{R}\to S$ を弧長でパラメータ付けられた測地線で、$\gamma (0)=P$、
$${\gamma }^{\prime }(0)=\cos \frac{\pi }{3}m+\sin \frac{\pi }{3}e$$
をみたすものとする。$\gamma (s)=(x(s),y(s),z(s))$ と書くとき、$\gamma$ 上での $z$ 座標の最小値 $\underset{s\in \mathbb{R}}{\min }z(s)$ を求めよ。

${\mathbb{R}}^3$ 内の円錐面
$$S=\{(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3\mid z=2\sqrt{2}\sqrt{x^2+y^2},z>0\}$$
に ${\mathbb{R}}^3$ の標準内積から誘導される計量を入れる。$\gamma :\mathbb{R}\to S$ を弧長でパラメータ付けされた測地線で、
$$\gamma (0)=(1,0,2\sqrt{2}),{\gamma }^{\prime }(0)=(0,1,0)$$
を満たすものとする。$\gamma (t)$ を円柱座標 $(r\cos \theta ,r\sin \theta ,2\sqrt{2}r)$ で表し、$\theta (t)$ は $\theta (0)=0$ を満たす連続関数として選ぶ。このとき
$$\underset{t\to \infty }{\lim }\theta (t)-\underset{t\to -\infty }{\lim }\theta (t)$$
の値を求めよ。