微分幾何の問題

パラメータ表示と第一基本形式. $S$ を $X(r,\theta )=(r\cos \theta ,r\sin \theta ,r^2)$ $(r>0)$ で表す（頂点は後で別に扱うが、以下で見るように $\gamma$ は頂点に到達しない）。
$$X_r=(\cos \theta ,\sin \theta ,2r),X_{\theta }=(-r\sin \theta ,r\cos \theta ,0)$$
より $E=1+4r^2,F=0,G=r^2$ である。

クレローの関係式. 計量 $d{s}^2=E(r)d{r}^2+G(r)d{\theta }^2$ は $\theta$ に依存しないので、測地線方程式の $\theta$ 成分（エネルギー汎関数 $\int (E{\dot{r}}^2+G{\dot{\theta }}^2)ds$ のオイラー・ラグランジュ方程式）は
$$\frac{d}{ds}\left(G{\theta }^{\prime }\right)=0,\text{すなわち}{r}^2{\theta }^{\prime }=c(\text{定数})$$
となる。$|X_{\theta }|=r$ なので、${\gamma }^{\prime }$ と子午線方向のなす角を $\psi$ とすると $r{\theta }^{\prime }=\sin \psi$ であり、$r\sin \psi =c$（クレローの関係式）が成り立つ。

定数の決定. $s=0$ では $r=1$、${\gamma }^{\prime }(0)$ の緯線方向成分は $\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ であり、$e=X_{\theta }/r$（$\theta =0$ で $X_{\theta }=(0,1,0)$）だから $r{\theta }^{\prime }(0)=\frac{\sqrt{3}}{2}$。よって $c=\frac{\sqrt{3}}{2}$。

下界. $|\sin \psi |\le 1$ より常に $r(s)=c/\sin \psi \ge c=\frac{\sqrt{3}}{2}$。特に $\gamma$ は頂点に近づかず、$z=r^2\ge \frac{3}{4}$。

下界が達成されること. 単位速度の条件 $E{r}^{\prime 2}+G{\theta }^{\prime 2}=1$ に ${\theta }^{\prime }=c/r^2$ を代入すると
$$(1+4r^2)r^{\prime 2}=1-\frac{c^2}{r^2}.$$
$s=0$ で ${\gamma }^{\prime }(0)$ の子午線成分は頂点向きに $\cos \frac{\pi }{3}>0$ なので $r^{\prime }(0)<0$。$r>c$ である限り右辺は正なので $r^{\prime }\ne 0$ であり、$r$ は単調に減少し続ける。$r$ が $1$ から $c$ まで減少するのに要する弧長は
$${\int }_c^1\frac{\sqrt{1+4r^2}}{\sqrt{1-c^2/r^2}}dr={\int }_c^1\frac{r\sqrt{1+4r^2}}{\sqrt{r^2-c^2}}dr$$
で、被積分関数は $r=c$ で $(r-c{)}^{-1/2}$ 程度の可積分な特異性しかもたないので有限である。したがって、ある $s_0>0$ で $r(s_0)=c$ となる（このとき $\psi =\frac{\pi }{2}$、すなわち緯線に接する）。回転放物面の緯線はどれも測地線ではない（緯線の測地的曲率は $\frac{1}{r\sqrt{1+4r^2}}\ne 0$）ので、$\gamma$ は $r=c$ の緯線上にとどまらず、$s_0$ の前後で $r$ は再び増加する。以後 $r>c$ では $r^{\prime }\ne 0$ なので $r$ は単調増加する。

よって $\min r=c=\frac{\sqrt{3}}{2}$ であり、
$$\underset{s}{\min }z(s)=c^2=\frac{3}{4}.$$

$S$ は $z$ 軸まわりの回転面で、$r=\sqrt{x^2+y^2}$ とすると $z=r^2$。点 $P=(1,0,1)$ では $r=1$。
回転面上の測地線にはクレローの関係式が成り立つ: 測地線の各点で、その点の緯線（平行円）の半径 $r$ と、測地線の接ベクトルの緯線方向成分（単位速度なので緯線方向の単位ベクトルとのなす角を $\phi$ として $\cos \phi$）の積 $r\cos \phi$ は一定。
（導出: 回転面の計量を $d{s}^2=(1+4r^2)d{r}^2+r^{2}d{\theta }^2$ とすると $\theta$ は巡回座標で、$r^2\dot{\theta }$ が保存される。$r\dot{\theta }$ が緯線方向の速さ成分なので、$r\cdot (r\dot{\theta })$ が一定。）
$P$ では緯線方向の成分は ${\gamma }^{\prime }(0)\cdot e=\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ であり、$r=1$ なので定数 $c=1\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
一方、緯線方向の成分の絶対値は 1 以下だから、$c=r\cdot |\text{緯線方向成分}|\le r$、すなわち $r\ge \frac{\sqrt{3}}{2}$ が常に成り立つ。
$\gamma$ は初め頂点方向に向かって $r$ が減少する。$r$ が $c$ に近づくと $\dot{r}\to 0$ となり接ベクトルは緯線方向になる。$r\dot{\theta }$ の成分が 1 になる点で $r=c$ に達する。${\dot{r}}^2(1+4r^2)=1-c^2/r^2$ から、$r>c$ のとき $\dot{r}\ne 0$、$r=c$ で $\dot{r}=0$ となり、実際に $r=c$ に有限の弧長で到達してそこで折り返す（$r=c$ は単純な零点で、$r$ の最小値になる）。よって $r$ の最小値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$。
$\gamma$ は $\mathbb{R}$ 全体で定義され、折り返したあとは $r$ が増加して $r\to \infty$ になるので、$r$ の最小値がそのまま $\min z$ を与える。
$z=r^2$ だから $\min z={\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2=\frac{3}{4}$。
検算: $r=1$ では $z=1$、最小値 $\frac{3}{4}<1$ で、$P$ から頂点方向に向かうことと整合する。