微分幾何

${\mathbb{R}}^3$ に標準内積と標準的な向き（右手系）を入れ、外積 $\times$ はこの向きで定める。${\mathbb{R}}^3$ 内のつるまき線
$$\gamma (t)=(3\cos t,3\sin t,4t)(0\le t\le 2\pi )$$
を考える。$\gamma$ のねじれ率 $\tau$ は
$$\tau (t)=\frac{({\gamma }^{\prime }(t)\times {\gamma }^{\prime \prime }(t))\cdot {\gamma }^{\prime \prime \prime }(t)}{|{\gamma }^{\prime }(t)\times {\gamma }^{\prime \prime }(t){|}^2}$$
で定める（これは従法線ベクトル $\mathbf{b}$ と主法線ベクトル $\mathbf{n}$ について、弧長 $s$ に関して $\frac{d\mathbf{b}}{ds}=-\tau \mathbf{n}$ となる規約に一致する）。弧長要素を $ds=|{\gamma }^{\prime }(t)|dt$ とするとき、全ねじれ率
$${\int }_{\gamma }\tau ds={\int }_0^{2\pi }\tau (t)|{\gamma }^{\prime }(t)|dt$$
を求めよ。

開円板 $D=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2\mid x^2+y^2<1\}$ にリーマン計量
$$g=\frac{4(d{x}^2+d{y}^2)}{(1-x^2-y^2{)}^2}$$
を入れる。$D$ 内の線分
$$C=\left\{(t,0)|0\le t\le \frac{1}{2}\right\}$$
の、計量 $g$ に関する長さ $L$ を求めよ。

${\mathbb{R}}^3$ の座標を $(x,y,z)$ とし、$1$ 次微分形式
$$\alpha =y^{2}dx+xdz$$
を考える。$3$ 次微分形式 $\alpha \wedge d\alpha$ を
$$\alpha \wedge d\alpha =f(x,y,z)dx\wedge dy\wedge dz$$
と表すとき、関数 $f(x,y,z)$ を求めよ。

${\mathbb{R}}^3$ 内の曲面を
$$X(u,v)=\left(u,v,2u^2+3uv\right)((u,v)\in {\mathbb{R}}^2)$$
でパラメータ表示し、単位法線を $\nu =\frac{X_u\times X_v}{|X_u\times X_v|}$ と定める。原点 $X(0,0)=(0,0,0)$ における、接方向 $(du,dv)=(1,1)$（すなわち接ベクトル $X_u+X_v$ の方向）の法曲率 $k_n$ を求めよ。

領域 $U=\{(u,v)\in {\mathbb{R}}^2\mid u>0\}$ にリーマン計量
$$g=d{u}^2+u^{4}d{v}^2$$
を入れる。$(U,g)$ の点 $(u,v)$ におけるガウス曲率 $K$ を $u,v$ の式で表せ。

${\mathbb{R}}^2$ の座標を $(x,y)$ とし、${\mathbb{R}}^2$ には $dx\wedge dy$ が正となる向きを入れる。長方形
$$M=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2\mid 0\le x\le 1,0\le y\le 2\}$$
を考え、その境界 $\partial M$ には $M$ から誘導される向き（外向き法線を先頭に置いたとき正の向きになる向き）を入れる。$1$ 次微分形式
$$\omega =x^{2}ydy$$
について、積分 ${\int }_{\partial M}\omega$ の値を求めよ。

${\mathbb{R}}^3$ 内の曲面を
$$X(u,v)=\left(u,v,u^2+uv+2v^2\right)((u,v)\in {\mathbb{R}}^2)$$
で表し、${\mathbb{R}}^3$ の標準内積から誘導される計量を入れる。単位法線ベクトルを $\nu =\frac{X_u\times X_v}{|X_u\times X_v|}$ と定め、第二基本形式の係数を $L=X_{uu}\cdot \nu ,M=X_{uv}\cdot \nu ,N=X_{vv}\cdot \nu$ とする。原点 $X(0,0)=(0,0,0)$ におけるガウス曲率 $K$ と平均曲率 $H=\frac{EN-2FM+GL}{2(EG-F^2)}$ を求め、組 $(K,H)$ の形で答えよ。

${\mathbb{R}}^3$ 内の回転放物面
$$S=\{(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3\mid z=x^2+y^2\}$$
に ${\mathbb{R}}^3$ の標準内積から誘導される計量を入れ、$S$ の単位法線ベクトルを
$$\nu (x,y,z)=\frac{(-2x,-2y,1)}{\sqrt{1+4x^2+4y^2}}$$
と定める。$S$ 上の曲線
$$\gamma (s)=(\cos s,\sin s,1)(s\in \mathbb{R})$$
を考える（$s$ は弧長パラメータである）。$\gamma$ の測地的曲率を $k_g=(\nu \times {\gamma }^{\prime })\cdot {\gamma }^{\prime \prime }$ で定めるとき、$k_g$ の値を求めよ。

${\mathbb{R}}^3$ 内の曲面を
$$X(u,v)=\left(u,v,u^2+4uv+v^2\right)((u,v)\in {\mathbb{R}}^2)$$
で表し、${\mathbb{R}}^3$ の標準内積から誘導される計量を入れる。単位法線ベクトルを $\nu =\frac{X_u\times X_v}{|X_u\times X_v|}$ と定める。原点 $X(0,0)=(0,0,0)$ における主曲率を ${\kappa }_1,{\kappa }_2$（${\kappa }_1\ge {\kappa }_2$）とするとき、組 $({\kappa }_1,{\kappa }_2)$ を求めよ。

${\mathbb{R}}^2$ の座標を $(u^1,u^2)=(u,v)$ とし、リーマン計量
$$g=d{u}^2+e^{2u}d{v}^2$$
を考える。クリストッフェル記号を
$${\Gamma }_{ij}^k=\frac{1}{2}\sum _{l=1}^2{g}^{kl}\left(\frac{\partial g_{jl}}{\partial u^i}+\frac{\partial g_{il}}{\partial u^j}-\frac{\partial g_{ij}}{\partial u^l}\right)$$
で定める（$(g^{kl})$ は $(g_{ij})$ の逆行列）。点 $(u,v)=(\log 2,0)$ における ${\Gamma }_{22}^1$ と ${\Gamma }_{12}^2$ の値を、組 $({\Gamma }_{22}^1,{\Gamma }_{12}^2)$ の形で求めよ。

${\mathbb{R}}^3$ 内の回転面
$$S=\{(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3\mid x^2+y^2=e^{2z}\}$$
（$z$ 軸のまわりの回転面で、回転軸からの距離は $r=\sqrt{x^2+y^2}=e^z$）に ${\mathbb{R}}^3$ の標準内積から誘導される計量を入れる。$S$ 上の点 $P=(1,0,0)$ において、$z$ が減少する向きで、子午線とのなす角が $\frac{\pi }{6}$ である単位接ベクトルを $v$ とする。弧長をパラメータとする測地線 $\gamma :[0,\infty )\to S$ で $\gamma (0)=P$, ${\gamma }^{\prime }(0)=v$ を満たすものを考える（$S$ は ${\mathbb{R}}^3$ の閉集合なので完備であり、このような $\gamma$ はただ 1 つ存在する）。$\gamma$ 上の点の $z$ 座標の最小値、すなわち $\underset{s\ge 0}{\min }z(\gamma (s))$ を求めよ。

${\mathbb{R}}^3$ 内の円錐面
$$S=\left\{(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3|z=\sqrt{3}\sqrt{x^2+y^2},z>0\right\}$$
に ${\mathbb{R}}^3$ の標準内積から誘導される計量を入れる。$S$ 上の 2 点
$$A=(2,0,2\sqrt{3}),B=(-1,\sqrt{3},2\sqrt{3})$$
を結ぶ $S$ 上の曲線のうち、長さが最小であるもの（これは測地線である）を $\gamma$ とする。$\gamma$ 上の点と原点 $O=(0,0,0)$ との（${\mathbb{R}}^3$ における）距離の最小値を求めよ。

上半平面 $\mathbb{H}=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2\mid y>0\}$ にリーマン計量
$$d{s}^2=\frac{4(d{x}^2+d{y}^2)}{y^2}$$
を入れる。$\mathbb{H}$ 内の閉領域 $D$ は単連結で、その境界は 4 本の測地線分からなり、$D$ の 4 つの頂点における内角はそれぞれ $\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{6}$ である（測地四角形）。この計量に関する $D$ の面積を求めよ。

$S$ を ${\mathbb{R}}^3$ 内の連結でコンパクトな、境界をもたない滑らかな曲面（閉曲面）とし、${\mathbb{R}}^3$ の標準内積から誘導される計量を入れる。$S$ には、頂点が $10$ 個、三角形の面が $24$ 個の三角形分割がある（各辺はちょうど $2$ つの三角形に共有される）。$S$ のガウス曲率を $K$、面積要素を $dA$ とするとき、全曲率
$${\iint }_{S}KdA$$
を求めよ。

${\mathbb{R}}^3$ 内の曲線
$$\gamma (t)=\left(t,t^2,\frac{2}{3}{t}^3\right)(t\in \mathbb{R})$$
のねじれ率を $\tau (t)$ とする。曲線全体にわたる全ねじれ率
$${\int }_{-\infty }^{\infty }\tau (t)|{\gamma }^{\prime }(t)|dt$$
の値を求めよ。ただし、ねじれ率は $\tau =\frac{({\gamma }^{\prime }\times {\gamma }^{\prime \prime })\cdot {\gamma }^{\prime \prime \prime }}{|{\gamma }^{\prime }\times {\gamma }^{\prime \prime }{|}^2}$ で定める。

${\mathbb{R}}^3$ 内の常螺旋面（ヘリコイド）を
$$X(u,v)=(u\cos v,u\sin v,v)((u,v)\in {\mathbb{R}}^2)$$
でパラメータ表示する。点 $X(\sqrt{3},0)=(\sqrt{3},0,0)$ における主曲率全体の集合を求めよ。ただし単位法線ベクトルは $\nu =\frac{X_u\times X_v}{|X_u\times X_v|}$ とする。

${\mathbb{R}}^3$ 内の円錐面
$$S=\{(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3\mid z=\sqrt{x^2+y^2},z>0\}$$
に ${\mathbb{R}}^3$ の標準内積から誘導される計量を入れる。$S$ と平面 $z=2$ の交わりとして得られる円 $C$ を $S$ 上の曲線とみなすとき、$C$ の測地的曲率の絶対値 $|k_g|$ を求めよ。

${\mathbb{R}}^3$ 内の閉曲線
$$C=\{(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3\mid x^2+y^2=1,z=2-x\}$$
を考え、$C$ には $xy$ 平面への射影が反時計回りになる向きを入れる。$1$ 次微分形式
$$\omega =-y^{3}dx+(x^3+z)dy$$
に対し、線積分 ${\int }_C\omega$ の値を求めよ。

${\mathbb{R}}^3$ 内の曲線
$$c(t)=\left(t,\frac{t^2}{2},\frac{t^3}{3}\right)(t\in \mathbb{R})$$
を考える。$t=1$ に対応する点における曲率 $\kappa$ とねじれ率 $\tau$ の組 $(\kappa ,\tau )$ をこの順に求めよ。ただし、ねじれ率は $\tau =\frac{(c^{\prime }\times c^{\prime \prime })\cdot c^{\prime \prime \prime }}{|c^{\prime }\times c^{\prime \prime }{|}^2}$（フレネ・セレの公式で $\frac{d\mathbf{b}}{ds}=-\tau \mathbf{n}$ となる符号）で定める。

${\mathbb{R}}^3$ の座標を $(x,y,z)$ とし、$dx\wedge dy\wedge dz$ が正となる向きを入れる。円柱領域
$$E=\{(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3\mid x^2+y^2\le 4,0\le z\le 3\}$$
の境界 $\partial E$（側面・上面・底面からなる）に、$E$ の向きから誘導される境界の向き（外向き法線に対応する向き）を入れる。$2$ 次微分形式
$$\omega =(x+y^{2}z)dy\wedge dz+yzdz\wedge dx+(x^2+z^2)dx\wedge dy$$
について、積分
$${\int }_{\partial E}\omega$$
の値を求めよ。

${\mathbb{R}}^2$ の座標を $(x,y)$ とし、リーマン計量
$$g=(1+x^2+y^2)(d{x}^2+d{y}^2)$$
を考える。$({\mathbb{R}}^2,g)$ のガウス曲率（断面曲率）を $K$ とするとき、点 $(1,1)$ における $K$ の値を求めよ。ただし、単位球面のガウス曲率が $1$ となる符号の規約を用いる。

${\mathbb{R}}^3$ 内の曲線
$$c(t)=\left(e^t\cos t,e^t\sin t,e^t\right)(t\in \mathbb{R})$$
を考える。$c$ の $t$ に対応する点での曲率を $\kappa (t)$、ねじれ率を $\tau (t)$ とする。ただし、ねじれ率の符号は
$$\tau =\frac{\det (c^{\prime }(t),c^{\prime \prime }(t),c^{\prime \prime \prime }(t))}{|c^{\prime }(t)\times c^{\prime \prime }(t){|}^2}$$
で定める（右巻きの常螺旋 $(\cos t,\sin t,t)$ のねじれ率が正になる流儀）。このとき、比 $\frac{\tau (t)}{\kappa (t)}$ は $t$ によらない定数になる。その値を求めよ。

${\mathbb{R}}^3$ 内の半径 $2$ の球面
$$S=\{(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3\mid x^2+y^2+z^2=4\}$$
に ${\mathbb{R}}^3$ の標準内積から誘導される計量を入れ、外向きの単位法線で向きを付ける。$S$ 上の領域
$$D=\{(x,y,z)\in S\mid z\ge 1,y\ge 0\}$$
を考える。$D$ の境界 $\partial D$ は、緯線 $\{z=1\}$ の一部と大円 $\{y=0\}$ の一部からなる区分的に滑らかな閉曲線である。$\partial D$ に $D$ が左側にくる向き（$S$ の向きに関する正の向き）を入れ、各滑らかな部分での測地的曲率を ${\kappa }_g$、弧長要素を $ds$ とする。ガウス・ボンネの定理を用いて
$${\int }_{\partial D}{\kappa }_{g}ds$$
（角点を除いた滑らかな部分での積分の和）の値を求めよ。

${\mathbb{R}}^3$ 内の曲線
$$c(t)=\left(2t,t^2,\log t\right)(t>0)$$
を考える。${\mathbb{R}}^3$ には標準内積と標準的な向きを入れ、ねじれ率 $\tau$ は $\tau =\frac{\det (c^{\prime },c^{\prime \prime },c^{\prime \prime \prime })}{|c^{\prime }\times c^{\prime \prime }{|}^2}$ と符号を定める。$t=1$ に対応する点 $(2,1,0)$ における曲率 $\kappa$ とねじれ率 $\tau$ を、組 $(\kappa ,\tau )$ の形でこの順に求めよ。

${\mathbb{R}}^2$ の座標を $(x,y)$ とし、リーマン計量
$$g=\frac{d{x}^2+d{y}^2}{1+x^2+y^2}$$
を考える。$({\mathbb{R}}^2,g)$ のガウス曲率を $K$、$g$ に関する面積要素を $dA$ とするとき、積分
$${\int }_{{\mathbb{R}}^2}KdA$$
は収束する。この値を求めよ。

$S_1,S_2\subset {\mathbb{R}}^3$ を $C^{\infty }$ 級の正則曲面とし、$I\subset \mathbb{R}$ を開区間、$\gamma :I\to {\mathbb{R}}^3$ を弧長でパラメータ付けられた $C^{\infty }$ 級の曲線で、すべての $s\in I$ で $\gamma (s)\in S_1\cap S_2$ を満たすものとする。$\gamma$ の（空間曲線としての）曲率 $\kappa (s)=|{\gamma }^{\prime \prime }(s)|$ はすべての $s\in I$ で $\kappa (s)>0$ であるとする。

用語を次のように定める（$k=1,2$）。
- $\gamma$ が $S_k$ の測地線であるとは、すべての $s\in I$ で ${\gamma }^{\prime \prime }(s)$ が接平面 $T_{\gamma (s)}{S}_k$ に直交することをいう。
- $\gamma$ が $S_k$ の曲率線であるとは、$\gamma$ に沿う $S_k$ のある $C^{\infty }$ 級の単位法ベクトル場 $N:I\to {\mathbb{R}}^3$（各 $s$ で $|N(s)|=1$ かつ $N(s)\perp T_{\gamma (s)}{S}_k$）が存在して、すべての $s\in I$ で $N^{\prime }(s)$ が ${\gamma }^{\prime }(s)$ の実数倍になることをいう。

$\gamma$ が $S_1$ の測地線であり、かつ $S_2$ の測地線でもあるとする。このとき、すべての $s\in I$ で $T_{\gamma (s)}{S}_1=T_{\gamma (s)}{S}_2$ が成り立ち、さらに「$\gamma$ が $S_1$ の曲率線である」ことと「$\gamma$ が $S_2$ の曲率線である」ことが同値であることを証明せよ。

$S\subset {\mathbb{R}}^3$ を向き付けられた $C^{\infty }$ 級正則曲面とし、正の定数 ${\kappa }_1\le {\kappa }_2$ があって、$S$ のガウス曲率 $K$ はすべての点で
$$-{\kappa }_2\le K\le -{\kappa }_1$$
を満たすとする。

$n\ge 3$ を整数とする。$R\subset S$ は閉円板と同相なコンパクト集合で、その境界 $\partial R$ は、$n$ 個の頂点 $v_1,\dots ,v_n$ を順に結ぶ $n$ 本の測地線の弧（いずれも $C^{\infty }$ 級で正則）をつないだ単純閉曲線であり、$R$ に関して正の向き（$R$ を左手に見る向き）にたどられるとする。頂点 $v_i$ における $R$ の内角 ${\phi }_i$ は $0<{\phi }_i<2\pi$ を満たすとし、$R$ の面積を $A={\iint }_{R}dA(>0)$ とする。

なお、次の局所ガウス・ボンネの定理は用いてよい: $R\subset S$ が閉円板と同相な領域で、その境界が正の向きにたどられた区分的に正則な単純閉曲線であり、頂点 $v_1,\dots ,v_k$ における外角 ${\theta }_i=\pi -{\phi }_i$（${\phi }_i$ は $R$ の内角）が $-\pi <{\theta }_i<\pi$ を満たすならば
$${\iint }_{R}KdA+{\int }_{\partial R}{k}_{g}ds+\sum _{i=1}^k{\theta }_i=2\pi$$
が成り立つ。ここで $k_g$ は境界の測地的曲率である。

$\Phi ={\phi }_1+\cdots +{\phi }_n$ とおくとき、
$$\frac{(n-2)\pi -\Phi }{{\kappa }_2}\le A\le \frac{(n-2)\pi -\Phi }{{\kappa }_1}$$
が成り立ち、特に $\Phi <(n-2)\pi$ であることを証明せよ。

${\mathbb{R}}^3$ の座標を $(x,y,z)$ とし、${\mathbb{R}}^3$ には $dx\wedge dy\wedge dz$ が正となる向きを入れる。$r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ とおき、${\mathbb{R}}^3\setminus \{0\}$ 上の $2$ 次微分形式
$$\omega =\frac{xdy\wedge dz+ydz\wedge dx+zdx\wedge dy}{r^3}+x^{2}zdx\wedge dy$$
を考える。楕円体面
$$S=\left\{(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3|\frac{x^2}{4}+y^2+\frac{z^2}{9}=1\right\}$$
には、$S$ が囲む立体 $E=\left\{\frac{x^2}{4}+y^2+\frac{z^2}{9}\le 1\right\}$ の境界としての向き（外向き法線による向き）を入れる。積分 ${\int }_S\omega$ の値を求めよ。

${\mathbb{R}}^3$ の座標を $(x,y,z)$ とし、リーマン計量
$$g=d{x}^2+d{y}^2+4(dz-xdy{)}^2$$
を考える。$\nabla$ を $g$ のレヴィ・チビタ接続とし、曲率テンソルを $R(X,Y)Z={\nabla }_X{\nabla }_{Y}Z-{\nabla }_Y{\nabla }_{X}Z-{\nabla }_{[X,Y]}Z$ で定める。$2$ 次元部分空間 $\sigma$ の断面曲率は、$\sigma$ の正規直交基底 $u,v$ を用いて $K(\sigma )=g(R(u,v)v,u)$ で定める（この定め方では単位球面の断面曲率は $1$ である）。原点 $p=(0,0,0)$ における接空間 $T_p{\mathbb{R}}^3$ の $2$ 次元部分空間 $\sigma$ 全体を動かすとき、$K(\sigma )$ の最大値と最小値を、この順に組で求めよ。

${\mathbb{R}}^3$ 内の回転放物面
$$S=\{(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3\mid z=x^2+y^2\}$$
に ${\mathbb{R}}^3$ の標準内積から誘導される計量を入れる。$S$ 上の点 $P=(1,0,1)$ において、子午線方向で頂点 $(0,0,0)$ に近づく向きの単位接ベクトルを $m=\frac{1}{\sqrt{5}}(-1,0,-2)$、緯線方向の単位接ベクトルを $e=(0,1,0)$ とする。

$\gamma :\mathbb{R}\to S$ を弧長でパラメータ付けられた測地線で、$\gamma (0)=P$、
$${\gamma }^{\prime }(0)=\cos \frac{\pi }{3}m+\sin \frac{\pi }{3}e$$
をみたすものとする。$\gamma (s)=(x(s),y(s),z(s))$ と書くとき、$\gamma$ 上での $z$ 座標の最小値 $\underset{s\in \mathbb{R}}{\min }z(s)$ を求めよ。

${\mathbb{R}}^3$ 内の曲面
$$S=\{(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3\mid z=x{y}^2\}$$
に ${\mathbb{R}}^3$ の標準内積から誘導される計量を入れる。$S$ 上の点 $P=(1,1,1)$ における $S$ の主曲率を ${\kappa }_1,{\kappa }_2$ とするとき、$|{\kappa }_1-{\kappa }_2|$ の値を求めよ。

${\mathbb{R}}^3$ 内の曲線
$$c(t)=(\cosh t,\sinh t,t)(t\in \mathbb{R})$$
を考える。$c$ の各点での曲率を $\kappa$、弧長要素を $ds=|c^{\prime }(t)|dt$ とする。曲線全体にわたる全曲率
$${\int }_c\kappa ds={\int }_{-\infty }^{\infty }\kappa (t)|c^{\prime }(t)|dt$$
の値を求めよ。

上半平面 $\mathbb{H}=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2\mid y>0\}$ に双曲計量
$$d{s}^2=\frac{d{x}^2+d{y}^2}{y^2}$$
を入れる（ガウス曲率は $-1$）。領域
$$D=\{(x,y)\in \mathbb{H}\mid -1\le x\le \sqrt{3},x^2+y^2\ge 4\}$$
の双曲面積（面積要素 $dA=\frac{dxdy}{y^2}$ による面積）を求めよ。

${\mathbb{R}}^3$ 内の円錐面
$$S=\{(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3\mid z=2\sqrt{2}\sqrt{x^2+y^2},z>0\}$$
に ${\mathbb{R}}^3$ の標準内積から誘導される計量を入れる。$\gamma :\mathbb{R}\to S$ を弧長でパラメータ付けされた測地線で、
$$\gamma (0)=(1,0,2\sqrt{2}),{\gamma }^{\prime }(0)=(0,1,0)$$
を満たすものとする。$\gamma (t)$ を円柱座標 $(r\cos \theta ,r\sin \theta ,2\sqrt{2}r)$ で表し、$\theta (t)$ は $\theta (0)=0$ を満たす連続関数として選ぶ。このとき
$$\underset{t\to \infty }{\lim }\theta (t)-\underset{t\to -\infty }{\lim }\theta (t)$$
の値を求めよ。

${\mathbb{R}}^3\setminus \{0\}$ 上の $2$ 次微分形式
$$\omega =\frac{xdy\wedge dz+ydz\wedge dx+zdx\wedge dy}{(x^2+y^2+z^2{)}^{3/2}}$$
を考える。曲面
$$S=\{(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3\mid z=2-x^2-y^2,x^2+y^2\le 1\}$$
に、単位法線ベクトルの $z$ 成分が正となる向きを入れる。積分 ${\int }_S\omega$ の値を求めよ。

${\mathbb{R}}^3$ の座標を $(x,y,z)$ とし、${\mathbb{R}}^3$ 上の $2$ 次微分形式
$$\omega =xdy\wedge dz+ydz\wedge dx+z^{2}dx\wedge dy$$
を考える。曲面
$$S=\{(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3\mid z=1-x^2-y^2,z\ge 0\}$$
には、写像 $(x,y)\mapsto (x,y,1-x^2-y^2)$（$x^2+y^2\le 1$）が向きを保つような向き（すなわち単位法線が上向き、$z$ 成分が正となる向き）を入れる。積分
$${\int }_S\omega$$
の値を求めよ。

${\mathbb{R}}^3$ 内の一葉双曲面
$$S=\{(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3\mid x^2+y^2-z^2=1\}$$
に ${\mathbb{R}}^3$ の標準内積から誘導される計量を入れる。弧長でパラメータづけられた $S$ の測地線 $\gamma (s)=(x(s),y(s),z(s))$（$s\in \mathbb{R}$）が
$$\gamma (0)=(2,0,\sqrt{3}),{\gamma }^{\prime }(0)=\left(-\frac{\sqrt{3}}{4},\frac{3}{4},-\frac{1}{2}\right)$$
をみたすとする。$s\ge 0$ の範囲で $z(s)$ がとる値の最小値を求めよ。

${\mathbb{R}}^3$ 内の曲面（懸垂面の一部）
$$S=\left\{(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3|x^2+y^2={\cosh }^{2}z,|z|\le \log 2\right\}$$
に ${\mathbb{R}}^3$ の標準内積から誘導される計量を入れる。$S$ のガウス曲率を $K$、面積要素を $dA$ とするとき、全ガウス曲率
$${\iint }_{S}KdA$$
の値を求めよ。

${\mathbb{R}}^3$ の座標を $(x,y,z)$ とし、$2$ 次微分形式
$$\omega =x^{3}dy\wedge dz+y^{3}dz\wedge dx+(z+x^2)dx\wedge dy$$
を考える。曲面
$$S=\{(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3\mid z=4-x^2-y^2,z\ge 0\}$$
には、単位法線ベクトルの $z$ 成分が正となる向きを入れる（すなわち $(x,y)$ による表示で $dx\wedge dy$ が正となる向き）。積分 ${\int }_S\omega$ を求めよ。

$a>0$ を定数とし、円柱面 $Z=\{(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3:x^2+y^2=a^2\}$ を考える。$I\subset \mathbb{R}$ を開区間、$\gamma =({\gamma }_1,{\gamma }_2,{\gamma }_3):I\to {\mathbb{R}}^3$ を弧長でパラメータ付けられた（すべての $s$ で $|{\gamma }^{\prime }(s)|=1$ の）$C^{\infty }$ 級の曲線で、すべての $s\in I$ で $\gamma (s)\in Z$ を満たすものとし、その曲率を $\kappa (s)=|{\gamma }^{\prime \prime }(s)|$ とする。

なお、$C^{\infty }$ 級の写像 $\sigma :I\to {\mathbb{R}}^2$ がすべての $s$ で $|\sigma (s)|=a$ を満たすならば、$C^{\infty }$ 級の関数 $\theta :I\to \mathbb{R}$ があって $\sigma (s)=(a\cos \theta (s),a\sin \theta (s))$ と書けることは用いてよい。

次の 2 つを証明せよ。
- すべての $s\in I$ で $\kappa (s)\ge \frac{1-{\gamma }_3^{\prime }(s{)}^2}{a}$ が成り立つ。
- この不等式の等号がすべての $s\in I$ で成り立つための必要十分条件は、${\omega }^2{a}^2+c^2=1$ を満たす実数の定数 $c,\omega$ と実数の定数 $\phi ,d$ があって、すべての $s\in I$ で
$$\gamma (s)=(a\cos (\omega s+\phi ),a\sin (\omega s+\phi ),cs+d)$$
と書けることである。

${\mathbb{R}}^3$ 内の楕円面
$$S=\left\{(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3|\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}+z^2=1\right\}$$
に ${\mathbb{R}}^3$ の標準内積から誘導される計量を入れる。$S$ 上の点 $P$ で、$2$ つの主曲率が一致するとき（すなわち $P$ における第二基本形式が第一基本形式の定数倍であるとき）、$P$ を $S$ の臍点という。$S$ の臍点 $P$ を $1$ つとり、$P$ における $S$ のガウス曲率 $K(P)$ を求めよ（この値は臍点 $P$ の取り方によらない）。

${\mathbb{R}}^3$ 内の懸垂面（カテノイド）
$$S=\{(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3\mid x^2+y^2={\cosh }^{2}z\}$$
に ${\mathbb{R}}^3$ の標準内積から誘導される計量を入れる。$S$ 上の点 $P=\left(2,0,\log (2+\sqrt{3})\right)$ から出発する弧長パラメータ $s$ の測地線 $\gamma (s)$ $(s\ge 0)$ を考える。$\gamma$ の初速度 ${\gamma }^{\prime }(0)$ は、$P$ を通る平行円（$z$ 座標が一定の円）と角 $\frac{\pi }{4}$ をなし、$z$ 座標が減少する向きを向いているとする。

$\gamma$ 上での $z$ 座標の最小値を $z_1$ とする。$S$ 上の平行円 $C_1=\{(x,y,z)\in S\mid z=z_1\}$ の（$S$ における）測地的曲率の絶対値を求めよ。

${\mathbb{R}}^3$ に標準内積と標準的な向きを入れる。弧長 $s$ でパラメータ付けられた滑らかな曲線 $\gamma :[0,1]\to {\mathbb{R}}^3$ の曲率 $\kappa (s)$ とねじれ率 $\tau (s)$ が
$$\kappa (s)=\frac{1}{2\cos (\log (1+s))+\sin (\log (1+s))},\tau (s)=\frac{1}{1+s}(0\le s\le 1)$$
で与えられているとする。ここでフルネ枠 $(T,N,B)$ は正の向きの正規直交枠（$B=T\times N$）であり、フルネ・セレの公式
$$T^{\prime }=\kappa N,N^{\prime }=-\kappa T+\tau B,B^{\prime }=-\tau N\left({}^{\prime }=\frac{d}{ds}\right)$$
を満たすものとする。さらに初期条件
$$\gamma (0)=(0,0,0),T(0)=(1,0,0),N(0)=(0,1,0),B(0)=(0,0,1)$$
を課す（曲線論の基本定理により、このような $\gamma$ はただ一つ存在する）。

$\gamma$ の像はある球面にちょうど含まれ、そのような球面はただ一つであることが知られている。この球面の中心の座標を求めよ。

${\mathbb{R}}^3$ 内の曲面（エネパー曲面）を
$$X(u,v)=\left(u-\frac{u^3}{3}+u{v}^2,v-\frac{v^3}{3}+u^{2}v,u^2-v^2\right)((u,v)\in {\mathbb{R}}^2)$$
でパラメータ表示し、${\mathbb{R}}^3$ の標準内積から誘導される計量を入れる。各点でのガウス曲率を $K$、平均曲率を $H$（主曲率 ${\kappa }_1,{\kappa }_2$ に対して $H=\frac{{\kappa }_1+{\kappa }_2}{2}$）とする。第一基本形式を $Ed{u}^2+2Fdudv+Gd{v}^2$ とし、面積要素を $dA=\sqrt{EG-F^2}dudv$ とする。パラメータ領域
$$D=\{(u,v)\in {\mathbb{R}}^2\mid u^2+v^2\le 1\}$$
上の積分
$${\iint }_D\left(H^2-K\right)dA$$
の値を求めよ。

${\mathbb{R}}^3$ 内の曲面（擬球の一部）
$$S=\{X(t,\theta )\mid t>0,\theta \in \mathbb{R}\},X(t,\theta )=\left(\mathrm{sech}t\cos \theta ,\mathrm{sech}t\sin \theta ,t-\tanh t\right)$$
を考え、${\mathbb{R}}^3$ の標準内積から誘導される計量を入れる。$t_0=\log (10+3\sqrt{11})$ とおき（このとき $\cosh t_0=10$ である）、点 $P=X(t_0,0)$ をとる。

$P$ における単位接ベクトル $v$ で、$P$ を通る緯線（曲線 $\theta \mapsto X(t_0,\theta )$）の接線と角 $\frac{\pi }{3}$ をなすものを $1$ つとる。$P$ を通り初速度 $v$ をもつ $S$ 上の測地線を、$S$ 内で定義される限り両方向に延長したもの（極大測地線）を $\gamma$ とする。

$\gamma$ が $2$ 回以上通過する $S$ の点（自己交差点）の個数を求めよ。

${\mathbb{R}}^3$ 内の曲面
$$S=\{(x,y,xy)\in {\mathbb{R}}^3\mid x^2+y^2\le 1\}$$
を考える。$S$ の各点における主曲率を ${\kappa }_1,{\kappa }_2$ とし、ガウス曲率を $K={\kappa }_1{\kappa }_2$、平均曲率を $H=\frac{{\kappa }_1+{\kappa }_2}{2}$ とする。$dA$ を $S$ の面積要素とするとき、
$${\iint }_S(H^2-K)dA$$
の値を求めよ。

${\mathbb{R}}^3$ 内のトーラス
$$T=\left\{\left((3+\cos v)\cos u,(3+\cos v)\sin u,\sin v\right)|u,v\in \mathbb{R}\right\}$$
に ${\mathbb{R}}^3$ の標準内積から誘導される計量を入れる。$T$ の平均曲率を $H=\frac{{\kappa }_1+{\kappa }_2}{2}$（${\kappa }_1,{\kappa }_2$ は主曲率）、面積要素を $dA$ とするとき、
$${\int }_T{H}^{2}dA$$
の値を求めよ。

${\mathbb{R}}^3$ 内の円錐面
$$S=\left\{(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3|z=4\sqrt{3}\sqrt{x^2+y^2},z>0\right\}$$
に ${\mathbb{R}}^3$ の標準内積から誘導される計量を入れる。$\gamma :\mathbb{R}\to S$ を、$\gamma (0)=(1,0,4\sqrt{3})$、${\gamma }^{\prime }(0)=(0,1,0)$ を満たす弧長パラメータ付きの測地線とする（$\gamma$ は $\mathbb{R}$ 全体で定義される）。$S$ の点のうち、$\gamma$ が $2$ 回以上通過する点、すなわち $\gamma (s_1)=\gamma (s_2)$ となる $s_1\ne s_2$ が存在する点 $p\in S$ の個数を求めよ。

${\mathbb{R}}^4$ の座標を $(x_1,x_2,x_3,x_4)$ とし、$1$ 次微分形式
$$\alpha =x_{1}d{x}_2-x_{2}d{x}_1+x_{3}d{x}_4-x_{4}d{x}_3$$
を考える。単位球面 $S^3=\{x\in {\mathbb{R}}^4\mid x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2=1\}$ には、$d{x}_1\wedge d{x}_2\wedge d{x}_3\wedge d{x}_4$ で向き付けた単位閉球体 $B^4$ の境界としての向き（外向き法線を先頭に置く向き）を入れる。$3$ 次微分形式 $\alpha \wedge d\alpha$ の $S^3$ 上の積分
$${\int }_{S^3}\alpha \wedge d\alpha$$
の値を求めよ。

上半平面 $\mathbb{H}=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2\mid y>0\}$ にリーマン計量
$$g=\frac{d{x}^2+d{y}^2}{y^2}$$
を入れる。$\mathbb{H}$ 内の曲線
$$C=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2\mid x^2+(y-5{)}^2=9\}$$
の計量 $g$ に関する測地的曲率は、$C$ 上で一定であることが知られている。その値を求めよ。ただし、測地的曲率は $C$ の囲む円板の内側を向く単位法線に関して測るものとする。

${\mathbb{R}}^4$ の座標を $(x_1,y_1,x_2,y_2)$ とし、${\mathbb{R}}^4$ には $d{x}_1\wedge d{y}_1\wedge d{x}_2\wedge d{y}_2$ が正となる向きを入れる。領域
$$D=\{(x_1,y_1,x_2,y_2)\in {\mathbb{R}}^4\mid x_1^2+y_1^2+4(x_2^2+y_2^2)\le 4\}$$
の境界を $M=\partial D$ とし、$M$ には $D$ の境界としての向き（外向き法線ベクトルを先頭に付け加えたとき ${\mathbb{R}}^4$ の向きと一致する向き）を入れる。${\mathbb{R}}^4$ 上の $1$ 次微分形式
$$\alpha =x_{1}d{y}_1-y_{1}d{x}_1+3(x_{2}d{y}_2-y_{2}d{x}_2)$$
に対し、$3$ 次微分形式 $\alpha \wedge d\alpha$ を $M$ に引き戻して得られる積分
$${\int }_M\alpha \wedge d\alpha$$
の値を求めよ。

${\mathbb{R}}^3$ の座標を $(x,y,z)$ とし、リーマン計量
$$g=dx\otimes dx+(1+4x^2)dy\otimes dy-4x(dy\otimes dz+dz\otimes dy)+4dz\otimes dz$$
を入れる（すなわち $g_{xx}=1,g_{yy}=1+4x^2,g_{yz}=g_{zy}=-4x,g_{zz}=4$ で、その他の成分は $0$）。$g$ のレヴィ・チヴィタ接続に関する断面曲率を考え、原点 $O=(0,0,0)$ における接空間 $T_O{\mathbb{R}}^3$ のすべての $2$ 次元部分空間 $\sigma$ にわたる断面曲率 $K(\sigma )$ の最小値 $m$ と最大値 $M$ を、組 $(m,M)$ の形でこの順に求めよ。

${\mathbb{R}}^3$ 内の曲面
$$S=\left\{(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3|z=e^{-(x^2+y^2)}\right\}$$
に ${\mathbb{R}}^3$ の標準内積から誘導される計量を入れ、$S$ のガウス曲率を $K$、面積要素を $dA$ とする。正の実数 $R$ に対して $D_R=\{(x,y,z)\in S\mid x^2+y^2\le R^2\}$ とおき、
$$I(R)={\int }_{D_R}KdA$$
と定める。$R$ が正の実数全体を動くときの $I(R)$ の最大値を求めよ。

$S\subset {\mathbb{R}}^3$ を空でないコンパクトな $C^{\infty }$ 級正則曲面（境界をもたない 2 次元部分多様体）とし、$R>0$ を定数とする。$S$ は原点を中心とする半径 $R$ の閉球に含まれる、すなわちすべての $p\in S$ で $|p|\le R$ であるとする。

各点 $p\in S$ の近くで単位法ベクトル場 $N$ を 1 つ選び、第二基本形式を ${\mathrm{II}}_p(v)=-⟨d{N}_p(v),v⟩$（$v\in T_{p}S$）、ガウス曲率を $K(p)=\det (-d{N}_p)$ と定める（$K(p)$ は $N$ の向きの選び方によらない）。次の事実は用いてよい。
- $S$ 上の $C^{\infty }$ 級の曲線 $\alpha$ が弧長でパラメータ付けられ $\alpha (0)=p$ ならば、${\mathrm{II}}_p({\alpha }^{\prime }(0))=⟨{\alpha }^{\prime \prime }(0),N(p)⟩$ が成り立つ。
- $T_{p}S$ の単位ベクトル $v$ を動かしたときの ${\mathrm{II}}_p(v)$ の最大値 $k_1$ と最小値 $k_2$（主曲率）について $K(p)=k_1{k}_2$ が成り立つ。

このとき、$K(p_0)\ge \frac{1}{R^2}$ を満たす点 $p_0\in S$ が存在することを証明せよ。

$n$ を正の整数とし、$M$ を境界をもたない、コンパクトで連結な、向き付けられた $2n$ 次元 $C^{\infty }$ 級多様体とする。$\omega$ を $M$ 上の $C^{\infty }$ 級の 2 次微分形式で、$d\omega =0$ を満たし、かつ $2n$ 次形式 ${\omega }^n=\underset{n}{\underbrace{\omega \wedge \cdots \wedge \omega }}$ が $M$ のどの点でも $0$ にならないものとする（${\omega }^0=1$ と約束する）。

このとき、各 $k=1,2,\dots ,n$ に対して ${\omega }^k$ は完全形式でない、すなわち ${\omega }^k=d\beta$ を満たす $M$ 上の $C^{\infty }$ 級 $(2k-1)$ 次形式 $\beta$ は存在しないことを証明せよ。

なお、境界をもたないコンパクトな向き付けられた $m$ 次元多様体上の $C^{\infty }$ 級 $(m-1)$ 次形式 $\eta$ に対するストークスの定理 ${\int }_{M}d\eta =0$ と、外微分の性質 $d(\alpha \wedge \beta )=d\alpha \wedge \beta +(-1{)}^p\alpha \wedge d\beta$（$\alpha$ は $p$ 次形式）、および 1 の分割の存在は用いてよい。