微分幾何の問題

座標と計量. $S$ を
$$X(\theta ,z)=(\cosh z\cos \theta ,\cosh z\sin \theta ,z)$$
でパラメータ表示する。$X_{\theta }=(-\cosh z\sin \theta ,\cosh z\cos \theta ,0)$, $X_z=(\sinh z\cos \theta ,\sinh z\sin \theta ,1)$ より
$$E={\cosh }^{2}z,F=0,G={\sinh }^{2}z+1={\cosh }^{2}z$$
となり、$d{s}^2={\cosh }^{2}z(d{\theta }^2+d{z}^2)$ である。$P$ は $\cosh z_0=2$、すなわち $z_0=\log (2+\sqrt{3})$（実際 $\cosh z_0=\frac{(2+\sqrt{3})+(2-\sqrt{3})}{2}=2$）の点である。

クレローの関係. 計量が $\theta$ によらないので、測地線に沿って $r=\cosh z$（回転軸からの距離）と、平行円となす角 $\psi$ について
$$r\cos \psi =c(\text{一定})$$
が成り立つ（$r^2{\theta }^{\prime }=c$ と同値）。$P$ では $r=2$, $\psi =\frac{\pi }{4}$ より $c=2\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$。

$z$ の動き. 弧長パラメータなので ${\cosh }^{2}z({\theta }^{\prime 2}+z^{\prime 2})=1$。これに ${\theta }^{\prime }=\frac{c}{{\cosh }^{2}z}$ を代入すると
$$z^{\prime 2}=\frac{{\cosh }^{2}z-c^2}{{\cosh }^{4}z}=\frac{{\cosh }^{2}z-2}{{\cosh }^{4}z}.$$
よって $\gamma$ 上では常に ${\cosh }^{2}z\ge 2$ である。初めは $z^{\prime }<0$ で $z$ は減少し、${\cosh }^{2}z=2$ の点で $z^{\prime }=0$ となる。${\cosh }^{2}z-2$ は $z_1=\mathrm{arccosh}\sqrt{2}$ で単純な零点をもつので、$z^{\prime 2}\approx C(z-z_1)$（$C>0$）となる。このため $\gamma$ は有限の弧長でそこに到達し、折り返して再び $z$ が増加する（平行円 $z=z_1$ は後で見るように測地線ではないので、そこに漸近することはない）。したがって
$$\cosh z_1=\sqrt{2},\sinh z_1=1,z_1=\log (1+\sqrt{2})$$
である。

平行円の測地的曲率. 半径 $r=\cosh z$ の平行円の曲率は $1/r$ で、主法線は回転軸へ向かう水平方向の単位ベクトル $-e_r$ である。これを接平面へ射影する。接平面は平行円の接方向と子午線の単位接ベクトル $T_m=\left(\frac{dr}{d\sigma },\frac{dz}{d\sigma }\right)$（$\sigma$ は子午線の弧長）で張られるので、射影の大きさは $\left|\frac{dr}{d\sigma }\right|$ である。よって
$$|{\kappa }_g|=\frac{1}{r}\left|\frac{dr}{d\sigma }\right|.$$
子午線 $r=\cosh z$ では $d\sigma =\sqrt{1+{\sinh }^{2}z}dz=\cosh zdz$ なので $\frac{dr}{d\sigma }=\frac{\sinh z}{\cosh z}$ となり、
$$|{\kappa }_g|=\frac{|\sinh z|}{{\cosh }^{2}z}.$$
$z=z_1$ では
$$|{\kappa }_g|=\frac{1}{(\sqrt{2}{)}^2}=\frac{1}{2}.$$
（${\kappa }_g\ne 0$ なので $C_1$ は測地線ではなく、上の議論とも整合する。）

答え: $\frac{1}{2}$

カテノイドは回転面で、$r=\cosh z$ と書ける。$P$ では $z_0=\log (2+\sqrt{3})$ なので $\cosh z_0=\frac{(2+\sqrt{3})+(2-\sqrt{3})}{2}=2$、すなわち $r=2$ である。

クレローの関係式より、測地線が平行円となす角を $\psi$ とすると $r\cos \psi$ は一定である。$P$ では $\psi =\pi /4$ なので $r\cos \psi =2\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$ となる。

$z$ が減少する向きに進むと、$r=\cosh z$ は $z>0$ の範囲で減少する。$z$ が最小になるのは $\psi =0$ となる点、つまり $r=\sqrt{2}$ の点である。このとき $\cosh z_1=\sqrt{2}$ で、$z_1=\log (1+\sqrt{2})\approx 0.881$ となる。$0<z_1<z_0$ なので、この点には到達し、そこで測地線は平行円に接して $z$ が増加に転じる。よって $z$ の最小値は $z_1=\log (1+\sqrt{2})$ であり、$\sinh z_1=\sqrt{2-1}=1$ である。

平行円の測地的曲率を求める。子午線の弧長 $\sigma$ は $d\sigma =\sqrt{(dr{)}^2+(dz{)}^2}=\sqrt{{\sinh }^{2}z+1}dz=\cosh zdz$ で与えられる。回転面上の平行円（半径 $r$）の測地的曲率の絶対値は $|dr/d\sigma |/r$ である。ここで $dr/d\sigma =\sinh z/\cosh z$ なので、
$$|{\kappa }_g|=\frac{\sinh z}{{\cosh }^{2}z}.$$
$z=z_1$ を代入すると $|{\kappa }_g|=\frac{1}{2}$ である。

検算：平行円の空間曲率は $1/r=1/\sqrt{2}$ である。曲面の単位法線と円の主法線のなす角を $\theta$ とすると $\cos \theta =\cos \phi$（$\phi$ は子午線の傾き）の関係があり、${\kappa }_g=\sin \varphi /r$ で $\sin \varphi =\tanh z_1=1/\sqrt{2}$ となる。したがって ${\kappa }_g=\frac{1/\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{1}{2}$ となり、一致する。