曲線の長さ

$y = f (x)$ や媒介変数表示の曲線の長さを定積分で求められる

前提

定積分の置換・部分積分と偶関数・奇関数（数学III 積分法）
逆関数・陰関数・媒介変数表示の微分（数学III 微分法）

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算数中学高校大学大学院

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定積分の計算（数学II 微分法と積分法）
定積分の置換・部分積分と偶関数・奇関数（数学III 積分法）
逆関数・陰関数・媒介変数表示の微分（数学III 微分法）

説明

曲がった線の長さを定積分で求める技能です。曲線が $y = f (x) (a \leq x \leq b)$ の形で与えられたときも、媒介変数表示 $x = x (t), y = y (t) (α \leq t \leq β)$ で与えられたときも、導関数を根号の中に入れて積分すれば長さが出ます。サイクロイドや円の一部、放物線の弧など、定規では測れない長さを正確に求める場面で使います。

なぜそうしてよいのか

曲線を細かく区切り、各部分を線分（弦）で近似します。媒介変数 $t$ が $t$ から $t + Δ t$ まで変わる間に、点は横に $Δ x$ 、縦に $Δ y$ 動きます。三平方の定理より、その部分の長さはおよそ $(Δ x)^{2} + (Δ y)^{2}$ です。 $Δ t$ が小さいとき $Δ x \approx \frac{d x}{d t} Δ t$ 、 $Δ y \approx \frac{d y}{d t} Δ t$ なので、小さな部分の長さは $(\frac{d x}{d t})^{2} + (\frac{d y}{d t})^{2} Δ t$ と近似できます。

これを $t = α$ から $t = β$ まで足し合わせ、区切りを限りなく細かくすると、和は定積分になります。よって、 $\frac{d x}{d t}, \frac{d y}{d t}$ が連続で、曲線が同じ所を二度通らないとき、長さは $L = \int_{α}^{β} (\frac{d x}{d t})^{2} + (\frac{d y}{d t})^{2} d t$ です。

$y = f (x)$ の場合は、 $x = t, y = f (t)$ という媒介変数表示とみなせば $\frac{d x}{d t} = 1, \frac{d y}{d t} = f^{'} (t)$ なので、 $f^{'} (x)$ が連続なとき $L = \int_{a}^{b} 1 + {f^{'} (x)}^{2} d x$ となります。根号の中の「1」は、横方向の動き $Δ x$ から来ています。

手順

曲線の形と範囲を確認する。 $y = f (x)$ なら $x$ の範囲 $a \leq x \leq b$ 、媒介変数表示なら曲線をちょうど一度なぞる $t$ の範囲 $α \leq t \leq β$ を決める
導関数を求める。 $y = f (x)$ なら $f^{'} (x)$ 、媒介変数表示なら $\frac{d x}{d t}$ と $\frac{d y}{d t}$
根号の中を作って整理する。 $1 + {f^{'} (x)}^{2}$ または $(\frac{d x}{d t})^{2} + (\frac{d y}{d t})^{2}$ を計算し、平方の形や三角関数の公式でまとめる。 $A^{2} = ∣ A ∣$ に注意する
定積分の式を立てる。 $L = \int_{a}^{b} 1 + {f^{'} (x)}^{2} d x$ または $L = \int_{α}^{β} (\frac{d x}{d t})^{2} + (\frac{d y}{d t})^{2} d t$
置換積分などを使って定積分を計算する

例題

曲線 $y = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} (0 \leq x \leq 3)$ の長さ $L$ を求めよ。

例題の解答

【手順1】 $y = f (x)$ の形で、範囲は $0 \leq x \leq 3$ である。
【手順2】 $f^{'} (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} = x$ 。これは $0 \leq x \leq 3$ で連続である。
【手順3】 $1 + {f^{'} (x)}^{2} = 1 + (x)^{2} = 1 + x$ 。
【手順4】 $L = \int_{0}^{3} 1 + x d x$ 。
【手順5】 $u = 1 + x$ とおくと $d u = d x$ で、 $x : 0 \to 3$ のとき $u : 1 \to 4$ 。よって $L = \int_{1}^{4} u^{\frac{1}{2}} d u = [\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4} = \frac{2}{3} (8 - 1) = \frac{14}{3}$

答え: $\frac{14}{3}$

よくある誤り

根号の中の 1 を落として $L = \int_{a}^{b} {f^{'} (x)}^{2} d x = \int_{a}^{b} ∣ f^{'} (x) ∣ d x$ としてしまう誤り。これは縦方向の動きだけで、正しくは $L = \int_{a}^{b} 1 + {f^{'} (x)}^{2} d x$ 。
根号を外すとき符号を無視する誤り。例えばサイクロイド $x = t - sin t, y = 1 - cos t (0 \leq t \leq 2 π)$ では根号の中が $2 - 2 cos t = 4 sin^{2} \frac{t}{2}$ となり、 $4 sin^{2} \frac{t}{2} = 2 sin \frac{t}{2}$ 。この範囲では $sin \frac{t}{2} \geq 0$ なので $2 sin \frac{t}{2}$ となり、長さは $8$ 。符号を確かめずに外すと区間によっては負の値が出てしまう。
根号を項ごとに分けてしまう誤り。 $1 + x = 1 + x$ や $1 + {f^{'} (x)}^{2} = 1 + f^{'} (x)$ は成り立たない。正しくは根号の中をまとめて、置換積分や平方の形への変形で計算する。
媒介変数表示なのに積分区間を $x$ の範囲にしてしまう誤り。 $d t$ で積分するので、区間は $t$ の範囲 $α \leq t \leq β$ にする。また、その範囲で曲線が同じ部分を二度なぞっていないか確かめる（例: $x = cos t, y = sin t$ を $0 \leq t \leq 4 π$ で積分すると $4 π$ となり、円周 $2 π$ の 2 倍になる）。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

空間曲線の曲率とねじれ率（大学院数学微分幾何）
等周問題と円弧（大学院数学変分法・最適制御）