この問題は、利用者からの報告を受けて確認中です。答えや解説に誤りがあるかもしれません。

積分法の問題

難易度 2教科書の章末問題レベル数学III 積分法

曲線 $y = \frac{x ^{2}}{4} - \frac{1}{2} lo g x (1 ≦ x ≦ e)$ の長さ $L$ を求めよ。ただし、 $lo g$ は自然対数、 $e$ は自然対数の底とする。

この問題で使うもの

曲線の長さ（説明と入口の問題）
多項式の微分（説明と入口の問題）
指数関数・対数関数の導関数（説明と入口の問題）
基本的な関数の不定積分（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（45 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの問題で使う技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

曲線 $y = f (x) (a ≦ x ≦ b)$ の長さは $L = \int_{a}^{b} 1 + {f^{'} (x)}^{2} d x$ で求められます。

ヒント 2

$y^{'} = \frac{x}{2} - \frac{1}{2 x}$ です。 $1 + (y^{'})^{2}$ を展開すると、ある式の 2 乗になります。

ヒント 3

$1 + (y^{'})^{2} = (\frac{x}{2} + \frac{1}{2 x})^{2}$ なので、 $L = \int_{1}^{e} (\frac{x}{2} + \frac{1}{2 x}) d x$ を計算します。

答えと解説

答えを見る

\frac{e ^{2} + 1}{4}

結果を記録する（このブラウザにだけ保存されます）:

解説を読む

$y = \frac{x ^{2}}{4} - \frac{1}{2} lo g x$ を微分すると
$y^{'} = \frac{x}{2} - \frac{1}{2 x}$
よって
$1 + (y^{'})^{2} = 1 + \frac{x ^{2}}{4} - \frac{1}{2} + \frac{1}{4 x ^{2}} = \frac{x ^{2}}{4} + \frac{1}{2} + \frac{1}{4 x ^{2}} = (\frac{x}{2} + \frac{1}{2 x})^{2}$
$1 ≦ x ≦ e$ では $\frac{x}{2} + \frac{1}{2 x} > 0$ なので
$1 + (y^{'})^{2} = \frac{x}{2} + \frac{1}{2 x}$
したがって
$L = \int_{1}^{e} (\frac{x}{2} + \frac{1}{2 x}) d x = [\frac{x ^{2}}{4} + \frac{1}{2} lo g x]_{1}^{e} = (\frac{e ^{2}}{4} + \frac{1}{2}) - \frac{1}{4} = \frac{e ^{2} + 1}{4}$

別解

$y^{'} = \frac{x}{2} - \frac{1}{2 x}$ より $1 + y^{'2} = 1 + \frac{x ^{2}}{4} - \frac{1}{2} + \frac{1}{4 x ^{2}} = (\frac{x}{2} + \frac{1}{2 x})^{2}$ 。 $x > 0$ なので $1 + y^{'2} = \frac{x}{2} + \frac{1}{2 x}$ 。 $L = \int_{1}^{e} (\frac{x}{2} + \frac{1}{2 x}) d x = [\frac{x ^{2}}{4} + \frac{1}{2} lo g x]_{1}^{e} = \frac{e ^{2}}{4} + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{e ^{2} + 1}{4}$ 。検算: $e^{2} \approx 7.389$ より $L \approx 2.097$ 。曲線の両端 $(1, 1/4)$ と $(e, e^{2} /4 - 1/2) \approx (2.718, 1.347)$ の距離は約 $2.04$ で、それより少し大きく妥当。

積分法の問題

この問題で使うもの

ヒント

答えと解説

次のおすすめ

この問題の確認

間違いを報告する

関連する問題