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積分法の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学III 積分法

曲線 $y = \frac{1}{3} (x^{2} + 2)^{\frac{3}{2}} (0 ≦ x ≦ 3)$ の長さ $L$ を求めよ。

この問題で使うもの

曲線の長さ（説明と入口の問題）
合成関数の微分（説明と入口の問題）
定積分の計算（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（45 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

曲線 $y = f (x)$ の長さの公式 $L = \int_{a}^{b} 1 + (\frac{d y}{d x})^{2} d x$ を使います。

ヒント 2

まず合成関数の微分で $\frac{d y}{d x}$ を求め、 $1 + (\frac{d y}{d x})^{2}$ が完全平方式になることを確かめましょう。

ヒント 3

$\frac{d y}{d x} = x x^{2} + 2$ なので $1 + (\frac{d y}{d x})^{2} = x^{4} + 2 x^{2} + 1 = (x^{2} + 1)^{2}$ となり、 $L = \int_{0}^{3} (x^{2} + 1) d x$ を計算すればよいです。

答えと解説

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12

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解説を読む

曲線 $y = f (x) (a ≦ x ≦ b)$ の長さは
$L = \int_{a}^{b} 1 + (\frac{d y}{d x})^{2} d x$
で求められる。この公式を使う。

手順1： $\frac{d y}{d x}$ を求める。
合成関数の微分により
$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} (x^{2} + 2)^{\frac{1}{2}} \cdot 2 x = x x^{2} + 2$

手順2： $1 + (\frac{d y}{d x})^{2}$ を整理する。
$1 + (\frac{d y}{d x})^{2} = 1 + x^{2} (x^{2} + 2) = x^{4} + 2 x^{2} + 1 = (x^{2} + 1)^{2}$
$x^{2} + 1 > 0$ であるから
$1 + (\frac{d y}{d x})^{2} = x^{2} + 1$

手順3：定積分を計算する。
$L = \int_{0}^{3} (x^{2} + 1) d x = [\frac{x ^{3}}{3} + x]_{0}^{3} = 9 + 3 = 12$

よって $L = 12$ である。

別解

$y^{'} = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} (x^{2} + 2)^{1/2} \cdot 2 x = x x^{2} + 2$ 。

よって $1 + y^{'2} = 1 + x^{2} (x^{2} + 2) = x^{4} + 2 x^{2} + 1 = (x^{2} + 1)^{2}$ 。

$L = \int_{0}^{3} 1 + y^{'2} d x = \int_{0}^{3} (x^{2} + 1) d x = [\frac{x ^{3}}{3} + x]_{0}^{3} = 9 + 3 = 12$ 。

検算： $x^{2} + 1 > 0$ なので平方根は $x^{2} + 1$ で正しい。積分値は $27/3 + 3 = 12$ 。

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