積分法の問題

積分区間が $-\frac{\pi }{2}$ から $\frac{\pi }{2}$ で、原点について対称です。そこで、被積分関数を偶関数と奇関数に分けて考えます。

(1) 偶関数か奇関数かを調べる

$f(x)=x^3\cos x$ とおくと、$\cos (-x)=\cos x$ より
$$f(-x)=(-x{)}^3\cos (-x)=-x^3\cos x=-f(x)$$
となります。したがって $f(x)$ は奇関数です。

$g(x)=x\sin x$ とおくと、$\sin (-x)=-\sin x$ より
$$g(-x)=(-x)\sin (-x)=x\sin x=g(x)$$
となります。したがって $g(x)$ は偶関数です。

(2) 偶関数・奇関数の性質を使う

$a>0$ のとき、次の性質が成り立ちます。
- 奇関数 $f(x)$ については ${\int }_{-a}^{a}f(x)dx=0$
- 偶関数 $g(x)$ については ${\int }_{-a}^{a}g(x)dx=2{\int }_0^{a}g(x)dx$

これらを使うと、
$${\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}\left(x^3\cos x+x\sin x\right)dx=0+2{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}x\sin xdx$$
となります。

(3) 部分積分で計算する

$\sin x=(-\cos x{)}^{\prime }$ とみて部分積分を行うと、
$${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}x\sin xdx=[-x\cos x{]}_0^{\frac{\pi }{2}}-{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}(x{)}^{\prime }(-\cos x)dx=[-x\cos x{]}_0^{\frac{\pi }{2}}+{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\cos xdx$$
となります。

ここで、各項は次のように計算できます。
$$[-x\cos x{]}_0^{\frac{\pi }{2}}=-\frac{\pi }{2}\cos \frac{\pi }{2}-0=0$$
$${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\cos xdx=[\sin x{]}_0^{\frac{\pi }{2}}=1-0=1$$

よって ${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}x\sin xdx=1$ です。

(4) 答え

$${\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}\left(x^3\cos x+x\sin x\right)dx=2\times 1=2$$

$x^3\cos x$ は奇関数なので、対称区間での積分は 0。$x\sin x$ は偶関数なので、${\int }_{-\pi /2}^{\pi /2}x\sin xdx=2{\int }_0^{\pi /2}x\sin xdx$。部分積分により ${\int }_0^{\pi /2}x\sin xdx=[-x\cos x{]}_0^{\pi /2}+{\int }_0^{\pi /2}\cos xdx=0+[\sin x{]}_0^{\pi /2}=1$。よって求める値は $2\cdot 1=2$。検算：$x\sin x$ の原始関数 $\sin x-x\cos x$ を用いると、$x=\pi /2$ で $1$、$x=-\pi /2$ で $-1$ なので差は $2$。一致する。