積分法の問題

方針　積分区間が $-\pi$ から $\pi$ までで、原点について対称です。そこで、被積分関数を偶関数と奇関数に分けて考えます。

区間 $[-a,a]$ での定積分について、次の性質が成り立ちます。
- $f(x)$ が奇関数（$f(-x)=-f(x)$）のとき、${\int }_{-a}^{a}f(x)dx=0$
- $f(x)$ が偶関数（$f(-x)=f(x)$）のとき、${\int }_{-a}^{a}f(x)dx=2{\int }_0^{a}f(x)dx$

手順 1：偶奇を調べる

$(-x{)}^3=-x^3$ なので、$x^3$ は奇関数です。

$(-x)\sin (-x)=(-x)(-\sin x)=x\sin x$ なので、$x\sin x$ は偶関数です。

よって
$${\int }_{-\pi }^{\pi }\left(x^3+x\sin x\right)dx={\int }_{-\pi }^{\pi }{x}^{3}dx+{\int }_{-\pi }^{\pi }x\sin xdx=0+2{\int }_0^{\pi }x\sin xdx$$
となります。

手順 2：部分積分で計算する

$\sin x=(-\cos x{)}^{\prime }$ と見て部分積分をすると
$${\int }_0^{\pi }x\sin xdx=[-x\cos x{]}_0^{\pi }+{\int }_0^{\pi }\cos xdx$$
となります。それぞれを計算すると
$$[-x\cos x{]}_0^{\pi }=-\pi \cos \pi -0=\pi ,{\int }_0^{\pi }\cos xdx=[\sin x{]}_0^{\pi }=0$$
なので、
$${\int }_0^{\pi }x\sin xdx=\pi$$
です。

手順 3：まとめる

$${\int }_{-\pi }^{\pi }\left(x^3+x\sin x\right)dx=2\cdot \pi =2\pi$$

$x^3$ は奇関数なので ${\int }_{-\pi }^{\pi }{x}^{3}dx=0$。$x\sin x$ は偶関数なので ${\int }_{-\pi }^{\pi }x\sin xdx=2{\int }_0^{\pi }x\sin xdx$。部分積分により ${\int }_0^{\pi }x\sin xdx=[-x\cos x{]}_0^{\pi }+{\int }_0^{\pi }\cos xdx=\pi +[\sin x{]}_0^{\pi }=\pi +0=\pi$。したがって求める値は $2\pi$。検算：$F(x)=\sin x-x\cos x$ とすると $F^{\prime }(x)=\cos x-\cos x+x\sin x=x\sin x$ で、$F(\pi )-F(0)=\pi$ となり一致する。