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積分法の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学III 積分法

次の定積分の値を求めよ。 $\int_{0}^{\frac{π}{2}} sin^{2} x cos x d x$

この問題で使うもの

置換積分（説明と入口の問題）
定積分の置換・部分積分と偶関数・奇関数（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（43 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

置換積分を使う。 $cos x$ が $sin x$ の導関数であることに注目しよう。

ヒント 2

$t = sin x$ とおくと $d t = cos x d x$ となる。積分区間も $t$ の値に直そう。

ヒント 3

$x = 0$ のとき $t = 0$ 、 $x = \frac{π}{2}$ のとき $t = 1$ なので、与えられた積分は $\int_{0}^{1} t^{2} d t$ に等しい。

答えと解説

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\frac{1}{3}

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解説を読む

被積分関数 $sin^{2} x cos x$ には $sin x$ と、その導関数 $(sin x)^{'} = cos x$ が含まれている。つまり $f (g (x)) g^{'} (x)$ の形（ $g (x) = sin x$ , $f (t) = t^{2}$ ）なので、 $t = sin x$ と置換する。

$t = sin x$ とおくと $\frac{d t}{d x} = cos x$ より $cos x d x = d t$ である。

また、積分区間は次のように対応する。

$x = 0$ のとき $t = sin 0 = 0$ 、 $x = \frac{π}{2}$ のとき $t = sin \frac{π}{2} = 1$ 。

よって
$\int_{0}^{\frac{π}{2}} sin^{2} x cos x d x = \int_{0}^{1} t^{2} d t = [\frac{t ^{3}}{3}]_{0}^{1} = \frac{1}{3}$

答えは $\frac{1}{3}$ である。

別解

$t = sin x$ とおくと $d t = cos x d x$ 。 $x : 0 \to \frac{π}{2}$ のとき $t : 0 \to 1$ 。
$\int_{0}^{\frac{π}{2}} sin^{2} x cos x d x = \int_{0}^{1} t^{2} d t = [\frac{t ^{3}}{3}]_{0}^{1} = \frac{1}{3}$
検算: $\frac{s i n ^{3} x}{3}$ を微分すると $sin^{2} x cos x$ になる。 $x = \frac{π}{2}$ で $\frac{1}{3}$ 、 $x = 0$ で $0$ なので差は $\frac{1}{3}$ 。

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