積分法の問題

方針

$\sin 3x\cos x$ は積の形のままでは積分しにくいので、積和の公式で和の形に直してから積分します。

1. 積和の公式で和に直す

積和の公式
$$\sin \alpha \cos \beta =\frac{1}{2}\{\sin (\alpha +\beta )+\sin (\alpha -\beta )\}$$
で $\alpha =3x$, $\beta =x$ とすると、
$$\sin 3x\cos x=\frac{1}{2}(\sin 4x+\sin 2x)$$
となります。

2. それぞれを積分する

$\int \sin kxdx=-\frac{1}{k}\cos kx+C$（$k$ は $0$ でない定数）を使うと、
$${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sin 3x\cos xdx=\frac{1}{2}{\left[-\frac{1}{4}\cos 4x-\frac{1}{2}\cos 2x\right]}_0^{\frac{\pi }{2}}$$
となります。

3. 値を代入する

上端 $x=\frac{\pi }{2}$ では $\cos 2\pi =1$, $\cos \pi =-1$ なので、
$$-\frac{1}{4}\cdot 1-\frac{1}{2}\cdot (-1)=-\frac{1}{4}+\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$$
です。

下端 $x=0$ では $\cos 0=1$ なので、
$$-\frac{1}{4}\cdot 1-\frac{1}{2}\cdot 1=-\frac{3}{4}$$
です。

よって
$${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sin 3x\cos xdx=\frac{1}{2}\left\{\frac{1}{4}-\left(-\frac{3}{4}\right)\right\}=\frac{1}{2}\cdot 1=\frac{1}{2}$$

答え $\frac{1}{2}$

積和の公式より $\sin 3x\cos x=\frac{1}{2}(\sin 4x+\sin 2x)$。よって
$${\int }_0^{\pi /2}\sin 3x\cos xdx=\frac{1}{2}{\left[-\frac{\cos 4x}{4}-\frac{\cos 2x}{2}\right]}_0^{\pi /2}.$$
$x=\pi /2$ のとき $-\frac{\cos 2\pi }{4}-\frac{\cos \pi }{2}=-\frac{1}{4}+\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$。
$x=0$ のとき $-\frac{1}{4}-\frac{1}{2}=-\frac{3}{4}$。
差は $\frac{1}{4}-(-\frac{3}{4})=1$ なので、答えは $\frac{1}{2}\cdot 1=\frac{1}{2}$。
検算：別法として $\sin 3x=3\sin x-4{\sin }^{3}x$ を用い、${\int }_0^{\pi /2}(3\sin x\cos x-4{\sin }^{3}x\cos x)dx=\frac{3}{2}-1=\frac{1}{2}$。一致する。