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積分法の問題

難易度 2教科書の章末問題レベル数学III 積分法

次の定積分の値を求めよ。 $\int_{0}^{\frac{π}{2}} e^{s i n x} sin 2 x d x$

この問題で使うもの

加法定理と 2 倍角・半角・積和の公式（説明と入口の問題）
置換積分（説明と入口の問題）
部分積分（説明と入口の問題）
定積分の置換・部分積分と偶関数・奇関数（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（43 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

$sin 2 x$ を2倍角の公式で書き直し、 $sin x$ をひとまとまりとみて置換積分することを考えましょう。

ヒント 2

$sin 2 x = 2 sin x cos x$ です。 $t = sin x$ とおくと $d t = cos x d x$ となり、積分区間は $0 \to 1$ に変わります。

ヒント 3

置換すると $\int_{0}^{1} 2 t e^{t} d t$ になります。あとは部分積分で $\int t e^{t} d t = t e^{t} - \int e^{t} d t$ を計算しましょう。

答えと解説

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2

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解説を読む

2倍角の公式 $sin 2 x = 2 sin x cos x$ を使うと
$\int_{0}^{\frac{π}{2}} e^{s i n x} sin 2 x d x = \int_{0}^{\frac{π}{2}} 2 sin x e^{s i n x} cos x d x$
となります。

置換積分 $t = sin x$ とおくと $d t = cos x d x$ です。積分区間は次のように対応します。

$x$	$0 \to \frac{π}{2}$
$t$	$0 \to 1$

よって
$\int_{0}^{\frac{π}{2}} 2 sin x e^{s i n x} cos x d x = \int_{0}^{1} 2 t e^{t} d t$

部分積分 $(e^{t})^{'} = e^{t}$ を用いると
$\int_{0}^{1} t e^{t} d t = [t e^{t}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} e^{t} d t = e - [e^{t}]_{0}^{1} = e - (e - 1) = 1$

したがって
$\int_{0}^{\frac{π}{2}} e^{s i n x} sin 2 x d x = 2 \times 1 = 2$

答えは $2$ です。

別解

$sin 2 x = 2 sin x cos x$ より、積分は $\int_{0}^{π /2} 2 sin x e^{s i n x} cos x d x$ となる。 $t = sin x$ とおくと $d t = cos x d x$ で、 $x : 0 \to π /2$ のとき $t : 0 \to 1$ 。よって $\int_{0}^{1} 2 t e^{t} d t$ 。部分積分により $\int t e^{t} d t = (t - 1) e^{t}$ なので、 $2 [(t - 1) e^{t}]_{0}^{1} = 2 (0 - (- 1)) = 2$ 。検算： $\frac{d}{d t} (t - 1) e^{t} = t e^{t}$ なので正しい。答えは 2。

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