積分法の問題

求める定積分を $I$ とおく。

置換で $I$ を書き換える

$x=-t$ とおくと $dx=-dt$ で、$x$ が $-1$ から $1$ まで動くとき $t$ は $1$ から $-1$ まで動く。$\log (1+t^2)$ は $t$ を $-t$ にしても変わらないので
$$I={\int }_1^{-1}\frac{\log (1+t^2)}{1+e^{-t}}(-dt)={\int }_{-1}^1\frac{\log (1+t^2)}{1+e^{-t}}dt$$
である。ここで $\frac{1}{1+e^{-t}}=\frac{e^t}{e^t+1}$ だから、積分変数を $x$ に戻して
$$I={\int }_{-1}^1\frac{e^x\log (1+x^2)}{1+e^x}dx$$
となる。

2 つの表し方を足す

もとの式と足すと
$$2I={\int }_{-1}^1\frac{(1+e^x)\log (1+x^2)}{1+e^x}dx={\int }_{-1}^1\log (1+x^2)dx$$
である。$\log (1+x^2)$ は偶関数なので
$$2I=2{\int }_0^1\log (1+x^2)dx\text{すなわち}I={\int }_0^1\log (1+x^2)dx$$

部分積分

$${\int }_0^1\log (1+x^2)dx=[x\log (1+x^2){]}_0^1-{\int }_0^{1}x\cdot \frac{2x}{1+x^2}dx=\log 2-2{\int }_0^1\frac{x^2}{1+x^2}dx$$
ここで $\frac{x^2}{1+x^2}=1-\frac{1}{1+x^2}$ だから
$${\int }_0^1\frac{x^2}{1+x^2}dx=1-{\int }_0^1\frac{dx}{1+x^2}$$

${\int }_0^1\frac{dx}{1+x^2}$ の計算

$x=\tan \theta$ とおくと $dx=\frac{d\theta }{{\cos }^2\theta }$、$x$ が $0$ から $1$ まで動くとき $\theta$ は $0$ から $\frac{\pi }{4}$ まで動く。$1+{\tan }^2\theta =\frac{1}{{\cos }^2\theta }$ より
$${\int }_0^1\frac{dx}{1+x^2}={\int }_0^{\frac{\pi }{4}}{\cos }^2\theta \cdot \frac{1}{{\cos }^2\theta }d\theta =\frac{\pi }{4}$$

まとめ

$$I=\log 2-2\left(1-\frac{\pi }{4}\right)=\log 2-2+\frac{\pi }{2}$$

$f(x)=\log (1+x^2)$ は偶関数。求める積分を $I$ とする。

$x=-t$ と置換すると
$$I={\int }_{-1}^1\frac{f(x)}{1+e^x}dx={\int }_{-1}^1\frac{f(t)}{1+e^{-t}}dt={\int }_{-1}^1\frac{e^{t}f(t)}{e^t+1}dt.$$

両者を足すと
$$2I={\int }_{-1}^{1}f(x)\left(\frac{1}{1+e^x}+\frac{e^x}{1+e^x}\right)dx={\int }_{-1}^1\log (1+x^2)dx=2{\int }_0^1\log (1+x^2)dx.$$

よって $I={\int }_0^1\log (1+x^2)dx$。

部分積分により
$$I=[x\log (1+x^2){]}_0^1-{\int }_0^1\frac{2x^2}{1+x^2}dx=\log 2-2{\int }_0^1\left(1-\frac{1}{1+x^2}\right)dx.$$

${\int }_0^1\frac{1}{1+x^2}dx=\frac{\pi }{4}$ （$x=\tan \theta$ と置換）なので
$$I=\log 2-2\left(1-\frac{\pi }{4}\right)=\log 2-2+\frac{\pi }{2}.$$

検算: $\log 2-2+\frac{\pi }{2}\approx 0.6931-2+1.5708=0.2639$。被積分関数 $\log (1+x^2)$ は $0\le x\le 1$ で $x^2$ 程度（${\int }_0^1{x}^{2}dx=0.333$ より少し小さい）の値であり、妥当。