積分法の問題

交点 $\mathrm{P}$ を求める。

異なる実数 $t_1,t_2$ が同じ点を表すとする。

$x$ 座標が等しいので $t_1^2=t_2^2$ である。$t_1\ne t_2$ より $t_2=-t_1$ であり、$t_1\ne 0$ である。

$y$ 座標が等しいので
$$t_1-\frac{t_1^3}{3}=-t_1+\frac{t_1^3}{3}.$$
よって $2t_1-\frac{2t_1^3}{3}=0$、すなわち $t_1\left(3-t_1^2\right)=0$ となる。$t_1\ne 0$ より $t_1^2=3$、つまり $t_1=\pm \sqrt{3}$ である。

このとき $x=3$、$y=\sqrt{3}-\frac{3\sqrt{3}}{3}=0$ なので、$\mathrm{P}(3,0)$ である。$\mathrm{P}$ に対応するのは $t=-\sqrt{3}$ と $t=\sqrt{3}$ である。

上の議論から、$-\sqrt{3}<t<\sqrt{3}$ の範囲で、異なる $t$ が同じ点を表すことはない。したがって、閉じた曲線になる部分は $-\sqrt{3}\le t\le \sqrt{3}$ に対応する部分である。

速さを計算する。

$$\frac{dx}{dt}=2t,\frac{dy}{dt}=1-t^2$$
より
$${\left(\frac{dx}{dt}\right)}^2+{\left(\frac{dy}{dt}\right)}^2=4t^2+1-2t^2+t^4=t^4+2t^2+1=(1+t^2{)}^2.$$
$1+t^2>0$ なので
$$\sqrt{{\left(\frac{dx}{dt}\right)}^2+{\left(\frac{dy}{dt}\right)}^2}=1+t^2.$$

長さを求める。

$1+t^2$ は偶関数なので
$$L={\int }_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}}(1+t^2)dt=2{\int }_0^{\sqrt{3}}(1+t^2)dt=2{\left[t+\frac{t^3}{3}\right]}_0^{\sqrt{3}}.$$
ここで $(\sqrt{3}{)}^3=3\sqrt{3}$ であるから
$$L=2\left(\sqrt{3}+\frac{3\sqrt{3}}{3}\right)=2\cdot 2\sqrt{3}=4\sqrt{3}.$$

よって $L=4\sqrt{3}$ である。

自己交点を求める。$x(t)=x(s)$ より $s=\pm t$ で、$s=-t(t\ne 0)$ とすると $y(-t)=-y(t)$ だから $y(t)=y(-t)$ となるのは $y(t)=0$ のときである。$t-\frac{t^3}{3}=0$ より $t=\pm \sqrt{3}$ ($t=0$ は同一点)。よって $\mathrm{P}=(3,0)$ で、閉じた部分は $-\sqrt{3}\le t\le \sqrt{3}$ に対応する。

$\frac{dx}{dt}=2t,\frac{dy}{dt}=1-t^2$ なので
$$\sqrt{4t^2+(1-t^2{)}^2}=\sqrt{(1+t^2{)}^2}=1+t^2.$$
ゆえに
$$L={\int }_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}}(1+t^2)dt=2{\left[t+\frac{t^3}{3}\right]}_0^{\sqrt{3}}=2(\sqrt{3}+\sqrt{3})=4\sqrt{3}.$$

検算：$t=\sqrt{3}$ で $t^3/3=\sqrt{3}$ となり $y=0$、被積分関数も $1+t^2>0$ で正しい。