積分法の問題

1. $y$ の範囲を $x$ の範囲に直す

$y=\log (e^x+1)-\log (e^x-1)$ を微分すると
$$y^{\prime }=\frac{e^x}{e^x+1}-\frac{e^x}{e^x-1}=\frac{e^x\{(e^x-1)-(e^x+1)\}}{e^{2x}-1}=-\frac{2e^x}{e^{2x}-1}$$
となる。$x>0$ では $e^{2x}>1$ なので $y^{\prime }<0$ であり、$y$ は単調に減少する。

$y=\log 3$ となる $x$ を求める。$\frac{e^x+1}{e^x-1}=3$ より $e^x+1=3e^x-3$ なので、$e^x=2$、すなわち $x=\log 2$ である。

$y=\log 2$ となる $x$ を求める。$\frac{e^x+1}{e^x-1}=2$ より $e^x+1=2e^x-2$ なので、$e^x=3$、すなわち $x=\log 3$ である。

$y$ は単調減少なので、$\log 2\leqq y\leqq \log 3$ を満たす部分は $\log 2\leqq x\leqq \log 3$ の部分である。

2. 被積分関数を求める

$$1+(y^{\prime }{)}^2=1+\frac{4e^{2x}}{(e^{2x}-1{)}^2}=\frac{(e^{2x}-1{)}^2+4e^{2x}}{(e^{2x}-1{)}^2}=\frac{(e^{2x}+1{)}^2}{(e^{2x}-1{)}^2}$$
である。$x>0$ では $e^{2x}-1>0$ なので
$$\sqrt{1+(y^{\prime }{)}^2}=\frac{e^{2x}+1}{e^{2x}-1}$$
となる。

3. 定積分を計算する

分母と分子を $e^x$ で割ると
$$\frac{e^{2x}+1}{e^{2x}-1}=\frac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}}$$
である。$(e^x-e^{-x}{)}^{\prime }=e^x+e^{-x}$ なので、これは $\frac{(e^x-e^{-x}{)}^{\prime }}{e^x-e^{-x}}$ の形をしている。よって
$$L={\int }_{\log 2}^{\log 3}\frac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}}dx=[\log (e^x-e^{-x}){]}_{\log 2}^{\log 3}$$
となる。ここで $x>0$ では $e^x-e^{-x}>0$ である。

$x=\log 3$ のとき $e^x-e^{-x}=3-\frac{1}{3}=\frac{8}{3}$、$x=\log 2$ のとき $e^x-e^{-x}=2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$ である。したがって
$$L=\log \frac{8}{3}-\log \frac{3}{2}=\log \left(\frac{8}{3}\cdot \frac{2}{3}\right)=\log \frac{16}{9}$$
となる。

$y^{\prime }=\frac{e^x}{e^x+1}-\frac{e^x}{e^x-1}=\frac{-2e^x}{e^{2x}-1}=-\frac{1}{\sinh x}$ （$\sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$）。

$\sqrt{1+y^{\prime 2}}=\sqrt{1+\frac{1}{{\sinh }^{2}x}}=\frac{\cosh x}{\sinh x}$（$x>0$ で正）。

$y=\log 3$ のとき $\frac{e^x+1}{e^x-1}=3$ より $e^x=2$。$y=\log 2$ のとき $\frac{e^x+1}{e^x-1}=2$ より $e^x=3$。$y$ は $x$ について単調減少なので、$x$ は $\log 2$ から $\log 3$ まで。

$L={\int }_{\log 2}^{\log 3}\frac{\cosh x}{\sinh x}dx=[\log \sinh x{]}_{\log 2}^{\log 3}$。

$\sinh (\log 3)=\frac{3-1/3}{2}=\frac{4}{3}$、$\sinh (\log 2)=\frac{2-1/2}{2}=\frac{3}{4}$。

よって $L=\log \frac{4/3}{3/4}=\log \frac{16}{9}$。