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積分法の問題

難易度 4国公立二次の標準レベル数学III 積分法

曲線 $C : y = (lo g x)^{2} (x ≧ 1)$ を考える。ただし、対数は自然対数とする。原点 $O$ から曲線 $C$ に引いた接線のうち、 $x$ 軸と異なるものを $ℓ$ とする。曲線 $C$ 、直線 $ℓ$ および $x$ 軸で囲まれた部分の面積 $S$ を求めよ。

この問題で使うもの

指数関数・対数関数の導関数（説明と入口の問題）
合成関数の微分（説明と入口の問題）
積と商の微分（説明と入口の問題）
部分積分（説明と入口の問題）
面積と回転体の体積（説明と入口の問題）

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算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

まず原点を通る接線を求めます。接点を $(t, (lo g t)^{2})$ とおき、接線が原点を通る条件から $t$ を決めましょう。

ヒント 2

接線の方程式に $(0, 0)$ を代入すると $lo g t (lo g t - 2) = 0$ になります。求める面積は「原点・ $(e^{2}, 0)$ ・接点を頂点とする三角形の面積」から「 $\int_{1}^{e^{2}} (lo g x)^{2} d x$ 」を引いたものです。

ヒント 3

$ℓ : y = \frac{4}{e ^{2}} x$ 、接点は $(e^{2}, 4)$ です。三角形の面積は $2 e^{2}$ です。部分積分で $\int (lo g x)^{2} d x = x (lo g x)^{2} - 2 x lo g x + 2 x + C$ を使って定積分を計算しましょう。

答えと解説

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2

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解説を読む

接線 $ℓ$ を求める。

$f (x) = (lo g x)^{2}$ とおくと $f^{'} (x) = \frac{2 lo g x}{x}$ である。 $C$ 上の点 $(t, (lo g t)^{2}) (t ≧ 1)$ における接線は
$y = \frac{2 lo g t}{t} (x - t) + (lo g t)^{2}$
である。これが原点を通る条件は
$0 = - 2 lo g t + (lo g t)^{2} = lo g t (lo g t - 2)$
である。よって $lo g t = 0$ または $lo g t = 2$ となり、 $t = 1$ または $t = e^{2}$ である。

$t = 1$ のときの接線は $y = 0$ （ $x$ 軸）である。よって $ℓ$ は $t = e^{2}$ のときの接線で、傾きは $\frac{2 \cdot 2}{e ^{2}} = \frac{4}{e ^{2}}$ となる。したがって
$ℓ : y = \frac{4}{e ^{2}} x$
であり、接点は $(e^{2}, 4)$ である。

上下関係を調べる。

$g (x) = \frac{4}{e ^{2}} x - (lo g x)^{2} (x ≧ 1)$ とおく。
$g^{'} (x) = \frac{4}{e ^{2}} - \frac{2 lo g x}{x}$
ここで $h (x) = \frac{2 lo g x}{x}$ とおくと $h^{'} (x) = \frac{2 ( 1 - lo g x )}{x ^{2}}$ である。よって $h$ は $1 ≦ x ≦ e$ で増加し、 $x ≧ e$ で減少する。また $h (1) = 0$ 、 $h (e) = \frac{2}{e} > \frac{4}{e ^{2}}$ 、 $h (e^{2}) = \frac{4}{e ^{2}}$ である。

したがって、 $1 < x_{0} < e$ を満たすある $x_{0}$ があって、 $g^{'} (x)$ の符号は次のようになる。
- $1 ≦ x < x_{0}$ で $g^{'} (x) > 0$
- $x_{0} < x < e^{2}$ で $g^{'} (x) < 0$

さらに $g (1) = \frac{4}{e ^{2}} > 0$ 、 $g (e^{2}) = 0$ である。よって $g$ は $[x_{0}, e^{2}]$ で減少して $0$ に達するので、 $1 ≦ x < e^{2}$ で $g (x) > 0$ となる。つまり $1 ≦ x ≦ e^{2}$ では $ℓ$ は $C$ の上側（接点で一致）にある。また $C$ は $x ≧ 1$ で $y ≧ 0$ であり、点 $(1, 0)$ で $x$ 軸に接する。

面積を計算する。

囲まれた部分は、 $x$ 軸上の線分 $O$ 〜 $(1, 0)$ 、曲線 $C$ の $(1, 0)$ 〜 $(e^{2}, 4)$ の部分、 $ℓ$ 上の線分 $(e^{2}, 4)$ 〜 $O$ で囲まれる。したがって
$S = (3 点 O, (e^{2}, 0), (e^{2}, 4) を頂点とする三角形の面積) - \int_{1}^{e^{2}} (lo g x)^{2} d x$
である。

三角形の面積は $\frac{1}{2} \cdot e^{2} \cdot 4 = 2 e^{2}$ である。

次に部分積分を用いる。
$\int (lo g x)^{2} d x = x (lo g x)^{2} - \int x \cdot \frac{2 lo g x}{x} d x = x (lo g x)^{2} - 2 \int lo g x d x$
ここで $\int lo g x d x = x lo g x - x + C$ であるから
$\int (lo g x)^{2} d x = x (lo g x)^{2} - 2 x lo g x + 2 x + C$
となる。よって
$\int_{1}^{e^{2}} (lo g x)^{2} d x = [x (lo g x)^{2} - 2 x lo g x + 2 x]_{1}^{e^{2}} = (4 e^{2} - 4 e^{2} + 2 e^{2}) - (0 - 0 + 2) = 2 e^{2} - 2$
である。

したがって
$S = 2 e^{2} - (2 e^{2} - 2) = 2$

別解

接点を $(t, (lo g t)^{2})$ $(t ≧ 1)$ とする。 $y^{'} = \frac{2 lo g x}{x}$ より、接線は $y - (lo g t)^{2} = \frac{2 lo g t}{t} (x - t)$ である。これが原点を通る条件は $- (lo g t)^{2} = - 2 lo g t$ 、すなわち $lo g t (lo g t - 2) = 0$ となり、 $t = 1$ または $t = e^{2}$ を得る。
$t = 1$ のときの接線は $y = 0$ （ $x$ 軸）なので、 $ℓ$ は $t = e^{2}$ のときで、接点は $(e^{2}, 4)$ 、傾きは $\frac{4}{e ^{2}}$ より $ℓ : y = \frac{4}{e ^{2}} x$ である。
囲まれた部分は、 $0 ≦ x ≦ e^{2}$ で直線 $ℓ$ と $x$ 軸の間にある三角形から、 $1 ≦ x ≦ e^{2}$ で曲線 $C$ と $x$ 軸の間にある部分を除いたものである。
三角形の面積は $\frac{1}{2} \cdot e^{2} \cdot 4 = 2 e^{2}$ である。
$\int (lo g x)^{2} d x = x {(lo g x)^{2} - 2 lo g x + 2} + C$ なので、 $\int_{1}^{e^{2}} (lo g x)^{2} d x = e^{2} (4 - 4 + 2) - 2 = 2 e^{2} - 2$ である。
よって $S = 2 e^{2} - (2 e^{2} - 2) = 2$ 。
検算： $\frac{d}{d x} [x {(lo g x)^{2} - 2 lo g x + 2}] = (lo g x)^{2} - 2 lo g x + 2 + 2 lo g x - 2 = (lo g x)^{2}$ となり、原始関数は正しい。

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