積分法の問題

交点を求める

$(\log x{)}^2=1$ を解くと $\log x=\pm 1$ なので、$x=\frac{1}{e},e$ である。

上下関係を調べる

$\frac{1}{e}<x<e$ のとき $-1<\log x<1$ なので、$(\log x{)}^2<1$ が成り立つ。つまり、この範囲では直線 $y=1$ が曲線より上にある。したがって
$$S={\int }_{\frac{1}{e}}^e\left\{1-(\log x{)}^2\right\}dx$$
である。

不定積分を求める

部分積分を使うと
$$\int (\log x{)}^{2}dx=x(\log x{)}^2-\int x\cdot 2\log x\cdot \frac{1}{x}dx=x(\log x{)}^2-2\int \log xdx$$
となる。さらに $\int \log xdx=x\log x-x+C$ を使うと
$$\int (\log x{)}^{2}dx=x(\log x{)}^2-2x\log x+2x+C$$
である。

定積分を計算する

$F(x)=x(\log x{)}^2-2x\log x+2x$ とおく。

• $F(e)=e\cdot 1-2e\cdot 1+2e=e$
• $F\left(\frac{1}{e}\right)=\frac{1}{e}\cdot 1-2\cdot \frac{1}{e}\cdot (-1)+\frac{2}{e}=\frac{5}{e}$

よって
$${\int }_{\frac{1}{e}}^e(\log x{)}^{2}dx=e-\frac{5}{e}$$
である。また
$${\int }_{\frac{1}{e}}^{e}1dx=e-\frac{1}{e}$$
である。

面積を求める

$$S=\left(e-\frac{1}{e}\right)-\left(e-\frac{5}{e}\right)=\frac{4}{e}$$

答えは $S=\frac{4}{e}$ である。

交点は $(\log x{)}^2=1$ より $x=e,1/e$。$1/e\le x\le e$ で $(\log x{)}^2\le 1$ なので、$S={\int }_{1/e}^e\{1-(\log x{)}^2\}dx$。
部分積分により $\int (\log x{)}^{2}dx=x(\log x{)}^2-2x\log x+2x$。
$x=e$ で $e-2e+2e=e$。$x=1/e$ で $\frac{1}{e}+\frac{2}{e}+\frac{2}{e}=\frac{5}{e}$。
よって ${\int }_{1/e}^e(\log x{)}^{2}dx=e-\frac{5}{e}$。
${\int }_{1/e}^{e}1dx=e-\frac{1}{e}$。
ゆえに $S=(e-\frac{1}{e})-(e-\frac{5}{e})=\frac{4}{e}$。
検算：被積分関数を微分すると $\frac{d}{dx}[x(\log x{)}^2-2x\log x+2x]=(\log x{)}^2+2\log x-2\log x-2+2=(\log x{)}^2$ で確かに原始関数。数値は $4/e\approx 1.47$ で、幅約2.35・高さ最大1の領域内に収まり妥当。