積分法の問題

1. $f^{\prime }(x)$ を $f(x)$ で表す 点 $\mathrm{P}(t,f(t))$ における接線は $y=f^{\prime }(t)(x-t)+f(t)$ である。これが $x$ 軸と交わるので $f^{\prime }(t)\ne 0$ で、交点は $\mathrm{Q}\left(t-\frac{f(t)}{f^{\prime }(t)},0\right)$。よって
$${\mathrm{PQ}}^2={\left(\frac{f(t)}{f^{\prime }(t)}\right)}^2+f(t{)}^2=1$$
これより $\frac{1}{f^{\prime }(t{)}^2}=\frac{1-f(t{)}^2}{f(t{)}^2}$、すなわち
$$f^{\prime }(t{)}^2=\frac{f(t{)}^2}{1-f(t{)}^2}$$
$f$ は減少関数なので $f^{\prime }(t)\leqq 0$ で、$f^{\prime }(t)\ne 0$ より
$$f^{\prime }(t)=-\frac{f(t)}{\sqrt{1-f(t{)}^2}}(1)$$

2. 鍵：$y$ を変数にとる $f^{\prime }(x)<0$ なので $f$ は逆関数をもつ。$y=f(x)$ の逆関数を $x=h(y)$ とすると、逆関数の微分法と $(1)$ より
$$h^{\prime }(y)=\frac{1}{f^{\prime }(h(y))}=-\frac{\sqrt{1-y^2}}{y}(2)$$
また、$(1)$ より
$$1+f^{\prime }(x{)}^2=1+\frac{y^2}{1-y^2}=\frac{1}{1-y^2}(y=f(x))$$
なので、曲線の長さの式で $x=h(y)$ と置換すると、$\frac{dx}{dy}=h^{\prime }(y)$ より
$$\sqrt{1+f^{\prime }(x{)}^2}dx=\frac{1}{\sqrt{1-y^2}}\cdot \left(-\frac{\sqrt{1-y^2}}{y}\right)dy=-\frac{dy}{y}$$
となる。あとは区間の端に対応する $y$ の値がわかればよい。

3. $h(y)$ を求める $(2)$ を積分する。$u=\sqrt{1-y^2}$（$0<u<1$）とおくと $u^2=1-y^2$ より $2udu=-2ydy$、$dy=-\frac{u}{y}du$ なので
$$\int \frac{\sqrt{1-y^2}}{y}dy=\int \frac{u}{y}\cdot \left(-\frac{u}{y}\right)du=\int \frac{-u^2}{1-u^2}du=\int \left(1-\frac{1}{1-u^2}\right)du$$
$$=u-\frac{1}{2}\int \left(\frac{1}{1-u}+\frac{1}{1+u}\right)du=u-\frac{1}{2}\log \frac{1+u}{1-u}+(\text{const.})$$
よって、定数 $K$ を用いて
$$h(y)=\frac{1}{2}\log \frac{1+u}{1-u}-u+K\left(u=\sqrt{1-y^2}\right)$$
$f$ は減少関数で $\underset{x\to +0}{\lim }f(x)=1$ なので、$y\to 1-0$ のとき $h(y)\to +0$ である。$y\to 1-0$ のとき $u\to +0$ で右辺は $K$ に近づくから $K=0$。したがって
$$h(y)=\frac{1}{2}\log \frac{1+\sqrt{1-y^2}}{1-\sqrt{1-y^2}}-\sqrt{1-y^2}$$
これを使うと
- $y=\frac{\sqrt{3}}{2}$ のとき $u=\frac{1}{2}$ で、$h=\frac{1}{2}\log \frac{3/2}{1/2}-\frac{1}{2}=\frac{\log 3-1}{2}$
- $y=\frac{1}{2}$ のとき $u=\frac{\sqrt{3}}{2}$ で、$h=\frac{1}{2}\log \frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}-\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{2}\log {\left(2+\sqrt{3}\right)}^2-\frac{\sqrt{3}}{2}=\log \left(2+\sqrt{3}\right)-\frac{\sqrt{3}}{2}$

（$\frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}={\left(2+\sqrt{3}\right)}^2$ を使った。）$f$ は減少関数なので、$\frac{\log 3-1}{2}\leqq x\leqq \log \left(2+\sqrt{3}\right)-\frac{\sqrt{3}}{2}$ には $\frac{1}{2}\leqq y\leqq \frac{\sqrt{3}}{2}$ が対応する。

4. 長さ 2 の置換により
$$L={\int }_{\frac{\log 3-1}{2}}^{\log (2+\sqrt{3})-\frac{\sqrt{3}}{2}}\sqrt{1+f^{\prime }(x{)}^2}dx={\int }_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{\frac{1}{2}}\left(-\frac{1}{y}\right)dy={\int }_{\frac{1}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}\frac{dy}{y}=\log \frac{\sqrt{3}/2}{1/2}=\log \sqrt{3}$$
よって $$L=\frac{1}{2}\log 3$$

曲線上の点 $\mathrm{P}(x,y)$（$0<y<1$）での接線の傾きを $y^{\prime }$ とする。接線と $x$ 軸の交点を $\mathrm{Q}$ とすると、$\mathrm{P}$ から $x$ 軸に下ろした垂線の足を $\mathrm{H}$ として $\mathrm{PH}=y$、$\mathrm{PQ}=1$ より $\mathrm{QH}=\sqrt{1-y^2}$。$f$ は減少関数なので接線の傾きは負で、
$$y^{\prime }=-\frac{y}{\sqrt{1-y^2}}.$$

曲線の長さ: $ds=\sqrt{1+y^{\prime 2}}dx$ で $1+y^{\prime 2}=1+\frac{y^2}{1-y^2}=\frac{1}{1-y^2}$ なので、$dx=-\frac{\sqrt{1-y^2}}{y}dy$ を用いて
$$ds=\frac{1}{\sqrt{1-y^2}}\cdot \left(-\frac{\sqrt{1-y^2}}{y}\right)dy=-\frac{dy}{y}.$$

$x$ と $y$ の関係: $x\to +0$ で $y\to 1$ という条件のもとで $dx=-\frac{\sqrt{1-y^2}}{y}dy$ を積分すると
$$x=\log \frac{1+\sqrt{1-y^2}}{y}-\sqrt{1-y^2}.$$
（微分して確かめる: $s=\sqrt{1-y^2}$ とおくと $\frac{dx}{dy}=-\frac{y}{s(1+s)}-\frac{1}{y}+\frac{y}{s}=\frac{y}{1+s}-\frac{1}{y}=\frac{y^2-1-s}{y(1+s)}=\frac{-s(1+s)}{y(1+s)}=-\frac{s}{y}$。$y=1$ で $x=0$。）

端点の $y$ 座標:
- $x=\log (2+\sqrt{3})-\frac{\sqrt{3}}{2}$ は $y=\frac{1}{2}$ のとき（$s=\frac{\sqrt{3}}{2}$、$\frac{1+s}{y}=2+\sqrt{3}$）。
- $x=\frac{\log 3-1}{2}$ は $y=\frac{\sqrt{3}}{2}$ のとき（$s=\frac{1}{2}$、$\frac{1+s}{y}=\sqrt{3}$ なので $x=\log \sqrt{3}-\frac{1}{2}$）。
$x$ について $y$ は単調減少なので、$x$ が小さい方が $y=\frac{\sqrt{3}}{2}$、大きい方が $y=\frac{1}{2}$。

求める長さは
$$L={\int }_{1/2}^{\sqrt{3}/2}\frac{dy}{y}=\log \frac{\sqrt{3}/2}{1/2}=\log \sqrt{3}=\frac{1}{2}\log 3.$$

検算: $\frac{1}{2}\log 3\approx 0.549$。区間の $x$ の幅は $\log (2+\sqrt{3})-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\log 3-1}{2}\approx 1.317-0.866-0.049=0.402$ で、$y$ の変化は $0.866\to 0.5$、傾きの大きさは $\frac{y}{\sqrt{1-y^2}}$ が $\sqrt{3}$ から $\frac{1}{\sqrt{3}}$ で、弦の長さ $\sqrt{0.402^2+0.366^2}\approx 0.544$ は $L\approx 0.549$ と整合する。