積分法の問題

$t=x+\sqrt{x^2+1}$ とおいて置換積分する。

置換の準備

$t-x=\sqrt{x^2+1}$ の両辺を 2 乗すると $t^2-2tx+x^2=x^2+1$ となる。よって
$$x=\frac{t^2-1}{2t}=\frac{1}{2}\left(t-\frac{1}{t}\right)$$
である。さらに
$$\sqrt{x^2+1}=t-x=\frac{1}{2}\left(t+\frac{1}{t}\right)$$
が成り立つ。$x$ を $t$ で微分すると
$$\frac{dx}{dt}=\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{t^2}\right)$$
となる。$t=x+\sqrt{x^2+1}$ は $x$ について単調に増加する。$x=0$ のとき $t=1$、$x=1$ のとき $t=1+\sqrt{2}$ である。

以下、$a=1+\sqrt{2}$ とおく。

置換積分

$$I={\int }_0^{1}x\log \left(x+\sqrt{x^2+1}\right)dx={\int }_1^a\frac{1}{2}\left(t-\frac{1}{t}\right)\log t\cdot \frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{t^2}\right)dt$$
ここで
$$\left(t-\frac{1}{t}\right)\left(1+\frac{1}{t^2}\right)=t+\frac{1}{t}-\frac{1}{t}-\frac{1}{t^3}=t-\frac{1}{t^3}$$
であるから
$$I=\frac{1}{4}{\int }_1^a\left(t-\frac{1}{t^3}\right)\log tdt$$
となる。

部分積分

${\left(\frac{t^2}{2}+\frac{1}{2t^2}\right)}^{\prime }=t-\frac{1}{t^3}$、$(\log t{)}^{\prime }=\frac{1}{t}$ を用いると
$${\int }_1^a\left(t-\frac{1}{t^3}\right)\log tdt={\left[\left(\frac{t^2}{2}+\frac{1}{2t^2}\right)\log t\right]}_1^a-{\int }_1^a\left(\frac{t}{2}+\frac{1}{2t^3}\right)dt$$
となる。

$a^2=(1+\sqrt{2}{)}^2=3+2\sqrt{2}$ であり、$\frac{1}{a^2}=\frac{1}{3+2\sqrt{2}}=3-2\sqrt{2}$ である。よって $a^2+\frac{1}{a^2}=6$、$a^2-\frac{1}{a^2}=4\sqrt{2}$ となる。

第 1 項は、$\log 1=0$ より
$$\frac{1}{2}\left(a^2+\frac{1}{a^2}\right)\log a=3\log \left(1+\sqrt{2}\right)$$
である。

第 2 項の積分は
$${\int }_1^a\left(\frac{t}{2}+\frac{1}{2t^3}\right)dt={\left[\frac{t^2}{4}-\frac{1}{4t^2}\right]}_1^a=\frac{1}{4}\left(a^2-\frac{1}{a^2}\right)-\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{4}\right)=\sqrt{2}$$
である。

まとめ

以上より
$$I=\frac{1}{4}\left\{3\log \left(1+\sqrt{2}\right)-\sqrt{2}\right\}=\frac{3\log \left(1+\sqrt{2}\right)-\sqrt{2}}{4}$$
を得る。

(数値で確かめると約 $0.307$ であり、被積分関数が $0\le x\le 1$ で $0$ 以上 $\log (1+\sqrt{2})\approx 0.88$ 以下であることと矛盾しない。)

$\log (x+\sqrt{x^2+1})={\sinh }^{-1}x$ であり、その微分は $\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$ である。$L=\log (1+\sqrt{2})$ とおく。

部分積分により
$$I={\left[\frac{x^2}{2}\log (x+\sqrt{x^2+1})\right]}_0^1-\frac{1}{2}{\int }_0^1\frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}}dx=\frac{L}{2}-\frac{1}{2}J.$$

$J={\int }_0^1\frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}}dx={\int }_0^1\left(\sqrt{x^2+1}-\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\right)dx$ を計算する。

• ${\int }_0^1\sqrt{x^2+1}dx=\frac{1}{2}{\left[x\sqrt{x^2+1}+\log (x+\sqrt{x^2+1})\right]}_0^1=\frac{\sqrt{2}+L}{2}$
• ${\int }_0^1\frac{dx}{\sqrt{x^2+1}}=L$

よって $J=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{L}{2}-L=\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{L}{2}$。

したがって
$$I=\frac{L}{2}-\frac{\sqrt{2}}{4}+\frac{L}{4}=\frac{3}{4}L-\frac{\sqrt{2}}{4}.$$

検算：$L\approx 0.8814$ より $I\approx 0.6610-0.3536=0.3074$。被積分関数を $x^2-\frac{x^4}{6}+\frac{3x^6}{40}-\cdots$ と展開して積分すると約 $0.31$ となり、概ね一致する。