積分法の問題

$f(x)=\log \left(x+\sqrt{x^2-1}\right)$ とおく。積分区間 $\frac{5}{4}\leqq x\leqq \frac{5}{3}$ では $x>1$ なので、$\sqrt{x^2-1}$ は定義され、$x+\sqrt{x^2-1}>0$ である。

$f^{\prime }(x)$ の計算

${\left(\sqrt{x^2-1}\right)}^{\prime }=\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}$ だから
$$f^{\prime }(x)=\frac{1+\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}}{x+\sqrt{x^2-1}}=\frac{\frac{\sqrt{x^2-1}+x}{\sqrt{x^2-1}}}{x+\sqrt{x^2-1}}=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}$$
である。

部分積分

$f(x)=(x{)}^{\prime }\cdot f(x)$ とみて部分積分すると
$$\int f(x)dx=xf(x)-\int \frac{x}{\sqrt{x^2-1}}dx$$
となる。

置換積分

$u=x^2-1$ とおくと $du=2xdx$ なので
$$\int \frac{x}{\sqrt{x^2-1}}dx=\frac{1}{2}\int u^{-\frac{1}{2}}du=\sqrt{u}+C=\sqrt{x^2-1}+C$$
である。したがって
$${\int }_{\frac{5}{4}}^{\frac{5}{3}}f(x)dx=[x\log \left(x+\sqrt{x^2-1}\right)-\sqrt{x^2-1}{]}_{\frac{5}{4}}^{\frac{5}{3}}$$
となる。

端点での値

• $x=\frac{5}{3}$ のとき:$\sqrt{x^2-1}=\sqrt{\frac{25}{9}-1}=\frac{4}{3}$、$x+\sqrt{x^2-1}=3$
• $x=\frac{5}{4}$ のとき:$\sqrt{x^2-1}=\sqrt{\frac{25}{16}-1}=\frac{3}{4}$、$x+\sqrt{x^2-1}=2$

よって
$$\left(\frac{5}{3}\log 3-\frac{4}{3}\right)-\left(\frac{5}{4}\log 2-\frac{3}{4}\right)=\frac{5}{3}\log 3-\frac{5}{4}\log 2-\frac{7}{12}$$
である。

別解(検算)

$t=x+\sqrt{x^2-1}$ とおく。$t-x=\sqrt{x^2-1}$ の両辺を 2 乗すると $t^2-2tx=-1$ となるので、$x=\frac{1}{2}\left(t+\frac{1}{t}\right)$、$dx=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{t^2}\right)dt$ である。$x$ が $\frac{5}{4}\to \frac{5}{3}$ のとき、$t$ は $2\to 3$ である。

部分積分により
$$\int \log tdt=t\log t-t,\int \frac{\log t}{t^2}dt=-\frac{\log t}{t}-\frac{1}{t}$$
だから、
$$\frac{1}{2}{\int }_2^3\log t\left(1-\frac{1}{t^2}\right)dt=\frac{1}{2}[t\log t-t+\frac{\log t}{t}+\frac{1}{t}{]}_2^3$$
となる。端点での値は
- $t=3$ のとき:$\frac{10}{3}\log 3-\frac{8}{3}$
- $t=2$ のとき:$\frac{5}{2}\log 2-\frac{3}{2}$

なので、値は
$$\frac{1}{2}\left(\frac{10}{3}\log 3-\frac{5}{2}\log 2-\frac{7}{6}\right)=\frac{5}{3}\log 3-\frac{5}{4}\log 2-\frac{7}{12}$$
となり、一致する。

答え:$\frac{5}{3}\log 3-\frac{5}{4}\log 2-\frac{7}{12}$

部分積分を行う。$\int \log (x+\sqrt{x^2-1})dx=x\log (x+\sqrt{x^2-1})-\int x\cdot \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}dx$ となる。ここで $\frac{d}{dx}\log (x+\sqrt{x^2-1})=\frac{1+\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}}{x+\sqrt{x^2-1}}=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}$ を用いた。したがって原始関数は $x\log (x+\sqrt{x^2-1})-\sqrt{x^2-1}$ である。

$x=\frac{5}{3}$ のとき $\sqrt{x^2-1}=\frac{4}{3}$、$x+\sqrt{x^2-1}=3$ なので、値は $\frac{5}{3}\log 3-\frac{4}{3}$。
$x=\frac{5}{4}$ のとき $\sqrt{x^2-1}=\frac{3}{4}$、$x+\sqrt{x^2-1}=2$ なので、値は $\frac{5}{4}\log 2-\frac{3}{4}$。

差をとると $\frac{5}{3}\log 3-\frac{5}{4}\log 2-\frac{4}{3}+\frac{3}{4}=\frac{5}{3}\log 3-\frac{5}{4}\log 2-\frac{7}{12}$。

検算として、数値は約 $0.38125$ になる。区間をシンプソン則で近似すると約 $0.38115$ となり、よく一致する。