積分法の問題

求める積分を $I$ とする。

被積分関数を変形する。 $t=\sin x+\cos x$ とおく。$t^2=1+2\sin x\cos x$ より $\sin x\cos x=\frac{t^2-1}{2}$ である。

よって分母は
$$(1+\sin x)(1+\cos x)=1+(\sin x+\cos x)+\sin x\cos x=1+t+\frac{t^2-1}{2}=\frac{(t+1{)}^2}{2}$$
となる。分子は
$$\sin 2x=2\sin x\cos x=t^2-1$$
である。$0\leqq x\leqq \frac{\pi }{2}$ では $t\geqq 1$ なので $t+1>0$ である。したがって
$$\frac{\sin 2x}{(1+\sin x)(1+\cos x)}=\frac{2(t^2-1)}{(t+1{)}^2}=\frac{2(t-1)}{t+1}=2-\frac{4}{t+1}$$
となり、
$$I={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}2dx-4{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{dx}{1+\sin x+\cos x}=\pi -4J$$
と書ける。ここで $J={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{dx}{1+\sin x+\cos x}$ とおいた。

$J$ を計算する。 半角の公式より $1+\cos x=2{\cos }^2\frac{x}{2}$、また $\sin x=2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}$ である。よって
$$1+\sin x+\cos x=2{\cos }^2\frac{x}{2}\left(1+\tan \frac{x}{2}\right)$$
となる。

$u=\tan \frac{x}{2}$ とおくと $du=\frac{1}{2{\cos }^2\frac{x}{2}}dx$ である。$x$ が $0\to \frac{\pi }{2}$ と動くとき、$u$ は $0\to 1$ と動く。したがって
$$J={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{1}{1+\tan \frac{x}{2}}\cdot \frac{dx}{2{\cos }^2\frac{x}{2}}={\int }_0^1\frac{du}{1+u}=[\log (1+u){]}_0^1=\log 2$$
となる。

結論.
$$I=\pi -4\log 2$$

$s=\sin x,c=\cos x,t=s+c$ とおくと $sc=\frac{t^2-1}{2}$ である。
分母は $(1+s)(1+c)=1+t+sc=\frac{(t+1{)}^2}{2}$、分子は $\sin 2x=2sc=t^2-1$ である。
よって被積分関数は $\frac{2(t^2-1)}{(t+1{)}^2}=\frac{2(t-1)}{t+1}=2-\frac{4}{t+1}$ となる。
したがって $I=\pi -4{\int }_0^{\pi /2}\frac{dx}{1+\sin x+\cos x}$。
$u=\tan \frac{x}{2}$ とおくと、$1+\sin x+\cos x=\frac{2(1+u)}{1+u^2}$、$dx=\frac{2du}{1+u^2}$ である。
ゆえに ${\int }_0^{\pi /2}\frac{dx}{1+\sin x+\cos x}={\int }_0^1\frac{du}{1+u}=\log 2$。
よって $I=\pi -4\log 2$。
検算として数値を確かめる。$\pi -4\log 2\approx 0.369$ である。被積分関数は $x=\pi /4$ で約 $0.343$、両端で $0$ であり、区間の長さ約 $1.57$ を掛けると同程度の値になるので矛盾しない。