積分法の問題

求める定積分を $I$ とおく。

部分積分の準備

$t=1+\sin x$ とおくと $dt=\cos xdx$ である。よって
$$\int \frac{\cos x}{(1+\sin x{)}^2}dx=\int \frac{dt}{t^2}=-\frac{1}{t}+C=-\frac{1}{1+\sin x}+C$$
となる。つまり
$${\left(-\frac{1}{1+\sin x}\right)}^{\prime }=\frac{\cos x}{(1+\sin x{)}^2}$$
である。

部分積分

$x$ を微分する側、$\frac{\cos x}{(1+\sin x{)}^2}$ を積分する側として部分積分を行うと
$$I={\left[-\frac{x}{1+\sin x}\right]}_0^{\frac{\pi }{2}}+{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{dx}{1+\sin x}$$
となる。第1項は
$$-\frac{\frac{\pi }{2}}{1+1}+0=-\frac{\pi }{4}$$
である。

残りの積分 $J={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{dx}{1+\sin x}$ の計算

$x=\frac{\pi }{2}-u$ とおくと、$dx=-du$ であり、$x$ が $0$ から $\frac{\pi }{2}$ まで変わるとき $u$ は $\frac{\pi }{2}$ から $0$ まで変わる。また $\sin x=\cos u$ である。よって
$$J={\int }_{\frac{\pi }{2}}^0\frac{-du}{1+\cos u}={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{du}{1+\cos u}$$
となる。半角の公式 $1+\cos u=2{\cos }^2\frac{u}{2}$ を使うと
$$J={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{du}{2{\cos }^2\frac{u}{2}}={\left[\tan \frac{u}{2}\right]}_0^{\frac{\pi }{2}}=\tan \frac{\pi }{4}-\tan 0=1$$
である。

結論

$$I=-\frac{\pi }{4}+1=1-\frac{\pi }{4}$$

部分積分を用いる。$u=x$、$dv=\frac{\cos x}{(1+\sin x{)}^2}dx$ とおくと、$v=-\frac{1}{1+\sin x}$ である。

$I={\left[-\frac{x}{1+\sin x}\right]}_0^{\pi /2}+{\int }_0^{\pi /2}\frac{dx}{1+\sin x}$

第1項は $-\frac{\pi /2}{2}-0=-\frac{\pi }{4}$ である。

第2項は $\frac{1}{1+\sin x}=\frac{1-\sin x}{{\cos }^{2}x}$ より、原始関数は $\tan x-\frac{1}{\cos x}=\frac{\sin x-1}{\cos x}$ である。$x\to \frac{\pi }{2}$ のとき $\frac{\sin x-1}{\cos x}\to 0$ であり、$x=0$ では $-1$ である。よって第2項は $0-(-1)=1$ となる。

したがって $I=1-\frac{\pi }{4}$ である。

検算として、被積分関数は $x=0$ と $x=\frac{\pi }{2}$ で 0、$x=\frac{\pi }{4}$ で約 0.19 である。シンプソン則で概算すると約 0.20 となり、$1-\frac{\pi }{4}\approx 0.2146$ と整合する。