積分法の問題

求める積分を $I$ とする。

部分積分のための準備

$${\left(\frac{1}{2{\cos }^{2}x}\right)}^{\prime }=\frac{1}{2}\cdot (-2){\cos }^{-3}x\cdot (-\sin x)=\frac{\sin x}{{\cos }^{3}x}$$

であるから、$\frac{\sin x}{{\cos }^{3}x}$ の原始関数の一つは $\frac{1}{2{\cos }^{2}x}$ である。

1回目の部分積分

$$I={\left[\frac{x^2}{2{\cos }^{2}x}\right]}_0^{\frac{\pi }{3}}-{\int }_0^{\frac{\pi }{3}}\frac{2x}{2{\cos }^{2}x}dx={\left[\frac{x^2}{2{\cos }^{2}x}\right]}_0^{\frac{\pi }{3}}-{\int }_0^{\frac{\pi }{3}}\frac{x}{{\cos }^{2}x}dx$$

$\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$ より ${\cos }^2\frac{\pi }{3}=\frac{1}{4}$ である。よって

$${\left[\frac{x^2}{2{\cos }^{2}x}\right]}_0^{\frac{\pi }{3}}=\frac{{\pi }^2}{9}\cdot \frac{1}{2\cdot \frac{1}{4}}-0=\frac{2{\pi }^2}{9}$$

2回目の部分積分

$J={\int }_0^{\frac{\pi }{3}}\frac{x}{{\cos }^{2}x}dx$ とおく。$(\tan x{)}^{\prime }=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$ を用いると

$$J=[x\tan x{]}_0^{\frac{\pi }{3}}-{\int }_0^{\frac{\pi }{3}}\tan xdx$$

ここで $[x\tan x{]}_0^{\frac{\pi }{3}}=\frac{\pi }{3}\cdot \sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}\pi$ である。

また $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}=-\frac{(\cos x{)}^{\prime }}{\cos x}$ であり、$0\le x\le \frac{\pi }{3}$ で $\cos x>0$ だから

$${\int }_0^{\frac{\pi }{3}}\tan xdx=[-\log (\cos x){]}_0^{\frac{\pi }{3}}=-\log \frac{1}{2}+\log 1=\log 2$$

したがって

$$J=\frac{\sqrt{3}}{3}\pi -\log 2$$

まとめ

$$I=\frac{2{\pi }^2}{9}-J=\frac{2{\pi }^2}{9}-\frac{\sqrt{3}}{3}\pi +\log 2$$

(数値で確認すると $I\approx 2.193-1.814+0.693=1.072>0$ となる。積分区間で被積分関数は $0$ 以上なので、符号に矛盾はない。)

$\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2{\cos }^{2}x}\right)=\frac{\sin x}{{\cos }^{3}x}$ であることを使い、部分積分を行う。

$I={\left[\frac{x^2}{2{\cos }^{2}x}\right]}_0^{\pi /3}-{\int }_0^{\pi /3}\frac{x}{{\cos }^{2}x}dx$

第1項は、${\cos }^2(\pi /3)=\frac{1}{4}$ より $\frac{(\pi /3{)}^2}{2\cdot \frac{1}{4}}=\frac{2{\pi }^2}{9}$。$x=0$ では 0 なので、第1項は $\frac{2{\pi }^2}{9}$。

第2項は、もう一度部分積分して
$\int \frac{x}{{\cos }^{2}x}dx=x\tan x-\int \tan xdx=x\tan x+\log |\cos x|$。

これを 0 から $\pi /3$ まで評価すると、
$\frac{\pi }{3}\sqrt{3}+\log \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}\pi }{3}-\log 2$。

よって
$I=\frac{2{\pi }^2}{9}-\frac{\sqrt{3}\pi }{3}+\log 2$。

検算: 数値は $2.1932-1.8138+0.6931\approx 1.0725$。シンプソン則（4分割）で概算すると約 1.14 となり、分割を細かくすれば近づく値である。