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積分法の問題

難易度 4国公立二次の標準レベル数学III 積分法

$a$ を実数とし、
$F (a) = \int_{1}^{e} ∣ lo g x - a ∣ d x$
とおく。ただし、 $lo g$ は自然対数、 $e$ は自然対数の底とする。 $a$ が実数全体を動くとき、 $F (a)$ の最小値を求めよ。

この問題で使うもの

部分積分（説明と入口の問題）
定積分の置換・部分積分と偶関数・奇関数（説明と入口の問題）
指数関数・対数関数の導関数（説明と入口の問題）
基本的な関数の不定積分（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（43 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

$1 ≦ x ≦ e$ では $0 ≦ lo g x ≦ 1$ です。 $a ≦ 0$ 、 $a ≧ 1$ 、 $0 < a < 1$ の場合に分けて、絶対値を外しましょう。

ヒント 2

$0 < a < 1$ のときは $x = e^{a}$ で積分区間を分けます。 $\int lo g x d x = x lo g x - x + C$ を使います。

ヒント 3

$0 < a < 1$ のとき $F (a) = 2 e^{a} - (e + 1) a - 1$ となります。これを $a$ で微分して増減を調べましょう。

答えと解説

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e - (e + 1) lo g \frac{e + 1}{2}

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解説を読む

$1 ≦ x ≦ e$ では $0 ≦ lo g x ≦ 1$ である。部分積分により
$\int lo g x d x = x lo g x - x + C$
であり、 $G (x) = x lo g x - x$ とおく。 $G (1) = - 1$ , $G (e) = 0$ である。

(i) $a ≦ 0$ のとき

常に $lo g x - a ≧ 0$ なので
$F (a) = \int_{1}^{e} (lo g x - a) d x = {G (e) - G (1)} - a (e - 1) = 1 - (e - 1) a$
となる。これは減少関数であり、 $F (a) ≧ F (0) = 1$ である。

(ii) $a ≧ 1$ のとき

常に $lo g x - a ≦ 0$ なので
$F (a) = \int_{1}^{e} (a - lo g x) d x = (e - 1) a - 1$
となる。これは増加関数であり、 $F (a) ≧ F (1) = e - 2$ である。

(iii) $0 < a < 1$ のとき

$lo g x = a$ となるのは $x = e^{a}$ のときで、 $1 < e^{a} < e$ である。 $1 ≦ x ≦ e^{a}$ では $lo g x ≦ a$ 、 $e^{a} ≦ x ≦ e$ では $lo g x ≧ a$ だから
$F (a) = \int_{1}^{e^{a}} (a - lo g x) d x + \int_{e^{a}}^{e} (lo g x - a) d x$
となる。各部分を計算する。
$\int_{1}^{e^{a}} lo g x d x = G (e^{a}) - G (1) = a e^{a} - e^{a} + 1,$
$\int_{e^{a}}^{e} lo g x d x = G (e) - G (e^{a}) = - a e^{a} + e^{a}$
よって
$F (a) = a (e^{a} - 1) - (a e^{a} - e^{a} + 1) + (- a e^{a} + e^{a}) - a (e - e^{a}) = 2 e^{a} - (e + 1) a - 1$
である。 $a = 0$ とすると $1$ 、 $a = 1$ とすると $e - 2$ となり、(i)(ii) の値とつながる。

微分すると
$F^{'} (a) = 2 e^{a} - (e + 1)$
であり、 $F^{'} (a) = 0$ となるのは $e^{a} = \frac{e + 1}{2}$ 、すなわち $a = lo g \frac{e + 1}{2}$ のときである。 $1 < \frac{e + 1}{2} < e$ より $0 < lo g \frac{e + 1}{2} < 1$ なので、この値は (iii) の範囲にある。 $F^{'} (a)$ は増加関数だから、 $F (a)$ はこの点の左で減少し、右で増加する。

(i)〜(iii) を合わせると、 $F (a)$ は $a ≦ lo g \frac{e + 1}{2}$ で減少し、 $a ≧ lo g \frac{e + 1}{2}$ で増加する。したがって最小値は
$F (lo g \frac{e + 1}{2}) = 2 \cdot \frac{e + 1}{2} - (e + 1) lo g \frac{e + 1}{2} - 1 = e - (e + 1) lo g \frac{e + 1}{2}$
である（数値は約 $0.413$ ）。

別解

$F (a)$ は $a$ について凸なので、 $a = lo g c$ ( $1 < c < e$ ) と置き、 $c$ を境に絶対値を外して計算する。\n\n $\int lo g x d x = x lo g x - x$ を用いると、\n $\int_{1}^{c} (a - lo g x) d x = a (c - 1) - [x lo g x - x]_{1}^{c} = a (c - 1) - (a c - c + 1) = - a + c - 1,$ \n $\int_{c}^{e} (lo g x - a) d x = [x lo g x - x]_{c}^{e} - a (e - c) = (0 - (a c - c)) - a e + a c = c - a e .$ \nよって $F (a) = 2 e^{a} - 1 - (1 + e) a$ 。\n\n微分すると $F^{'} (a) = 2 e^{a} - (1 + e)$ 。これが $0$ になるのは $e^{a} = \frac{1 + e}{2}$ 、すなわち $a = lo g \frac{1 + e}{2}$ のとき。ここで $1 < \frac{1 + e}{2} < e$ なので、 $a$ は $0 < a < 1$ を満たし、場合分けの前提と整合する。\n $F^{'} (a)$ は増加関数なので、 $F$ はこの $a$ で最小になる。\n\n最小値は $2 \cdot \frac{1 + e}{2} - 1 - (1 + e) lo g \frac{1 + e}{2} = e - (1 + e) lo g \frac{1 + e}{2}$ 。\n\n検算: $lo g \frac{1 + e}{2} \approx 0.6201$ より値は約 $0.4126$ 。一方 $F (0) = e - 2 \approx 0.718$ （ $a = 0$ のとき被積分関数は $lo g x \geq 0$ で $\int_{1}^{e} lo g x d x = 1$ なので $F (0) = 1$ ）、 $F (1) = e - 2 \approx 0.718$ と比べて小さく妥当。\n\n（注: $F (0) = 1$ 、 $F (1) = e - 1 - 1 = e - 2$ 。）

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