クリストッフェル記号と測地線の方程式

第一基本形式からクリストッフェル記号 $Γ_{ij}^{k}$ を計算できる。測地線の方程式 $u ¨^{k} + Γ_{ij}^{k} u ˙^{i} u ˙^{j} = 0$ を立て、与えられた曲線が測地線（ $k_{g} = 0$ ）かを判定できる

前提

曲面上の曲線の測地的曲率（大学院数学微分幾何）

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算数中学高校大学大学院

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曲面上の曲線の測地的曲率（大学院数学微分幾何）

説明

曲面上の「まっすぐな線」（測地線）を、曲面の座標 $(u^{1}, u^{2}) = (u, v)$ だけで書かれた微分方程式として扱えるようにします。そのための係数がクリストッフェル記号 $Γ_{ij}^{k}$ で、第一基本形式の係数 $E, F, G$ とその偏導関数だけから計算できます。これを使って測地線の方程式 $u ¨^{k} + Γ_{ij}^{k} u ˙^{i} u ˙^{j} = 0$ を立て、球面の緯線や回転面上の曲線などが測地線（ $k_{g} = 0$ ）かどうかを判定します。

なぜそうしてよいのか

以下、添字 $i, j, k, l$ は $1, 2$ を動き、 $u^{1} = u, u^{2} = v$ 、 $X_{i} = \partial X / \partial u^{i}$ 、 $X_{ij} = \partial^{2} X / \partial u^{i} \partial u^{j}$ 、 $g_{11} = E, g_{12} = g_{21} = F, g_{22} = G$ と書きます。また、同じ添字が上下に 1 回ずつ現れたら $1, 2$ について和をとる約束（例: $Γ_{ij}^{k} u ˙^{i} u ˙^{j} = \sum_{i, j} Γ_{ij}^{k} u ˙^{i} u ˙^{j}$ ）を使います。 $(g^{k l})$ は行列 $(g_{ij})$ の逆行列です。

2 階偏導関数 $X_{ij}$ を、接平面の基底 $X_{1}, X_{2}$ と単位法線 $ν$ で分解して $X_{ij} = Γ_{ij}^{k} X_{k} + (\dots) ν$ と書き、この接成分の係数を $Γ_{ij}^{k}$ と定めます（ $X_{ij} = X_{j i}$ なので $Γ_{ij}^{k} = Γ_{j i}^{k}$ ）。 $X_{l}$ との内積をとると $X_{ij} \cdot X_{l} = Γ_{ij}^{k} g_{k l}$ 。一方 $g_{j l} = X_{j} \cdot X_{l}$ を $u^{i}$ で微分すると $\partial_{i} g_{j l} = X_{ij} \cdot X_{l} + X_{j} \cdot X_{i l}$ で、添字を入れ替えた 3 つの式を組み合わせると $X_{ij} \cdot X_{l} = \frac{1}{2} (\partial_{i} g_{j l} + \partial_{j} g_{i l} - \partial_{l} g_{ij})$ が出ます。よって
$Γ_{ij}^{k} = \frac{1}{2} g^{k l} (\partial_{i} g_{j l} + \partial_{j} g_{i l} - \partial_{l} g_{ij})$
となり、第一基本形式だけで決まります。特に $F = 0$ のときは $Γ_{11}^{1} = \frac{E _{u}}{2 E}, Γ_{12}^{1} = \frac{E _{v}}{2 E}, Γ_{22}^{1} = - \frac{G _{u}}{2 E}, Γ_{11}^{2} = - \frac{E _{v}}{2 G}, Γ_{12}^{2} = \frac{G _{u}}{2 G}, Γ_{22}^{2} = \frac{G _{v}}{2 G}$ です。

曲面上の曲線 $γ (t) = X (u^{1} (t), u^{2} (t))$ の加速度は、連鎖律で $γ ¨ = X_{ij} u ˙^{i} u ˙^{j} + X_{k} u ¨^{k} = (u ¨^{k} + Γ_{ij}^{k} u ˙^{i} u ˙^{j}) X_{k} + (\dots) ν$ です。測地線の方程式 $u ¨^{k} + Γ_{ij}^{k} u ˙^{i} u ˙^{j} = 0 (k = 1, 2)$ は、加速度の接成分が $0$ 、つまり加速度が曲面に垂直であることを表します。このとき $\frac{d}{d t} ∣ γ ˙ ∣^{2} = 2 γ ˙ \cdot γ ¨ = 0$ なので速さは一定で、弧長に比例するパラメータになっており、前提の技能の分解 $γ ¨ = ∣ γ ˙ ∣^{2} (k_{n} ν + k_{g} ν \times T)$ から $k_{g} = 0$ がわかります。逆に、速さ一定（ $\neq = 0$ ）で $k_{g} = 0$ の曲線は加速度の接成分が $0$ なので方程式を満たします。

手順

第一基本形式の係数 $E, F, G$ （ $g_{ij}$ ）と、その偏導関数 $E_{u}, E_{v}, F_{u}, \dots$ を求める
公式 $Γ_{ij}^{k} = \frac{1}{2} g^{k l} (\partial_{i} g_{j l} + \partial_{j} g_{i l} - \partial_{l} g_{ij})$ でクリストッフェル記号を計算する。 $F = 0$ なら $Γ_{22}^{1} = - \frac{G _{u}}{2 E}$ 、 $Γ_{12}^{2} = \frac{G _{u}}{2 G}$ などの簡単な形を使う
測地線の方程式を成分ごとに書く。 $k = 1, 2$ それぞれ $u ¨^{k} + Γ_{11}^{k} u ˙^{2} + 2 Γ_{12}^{k} u ˙ v ˙ + Γ_{22}^{k} v ˙^{2} = 0$ （混合項は $Γ_{12}^{k}$ と $Γ_{21}^{k}$ の 2 つ分で係数 2）
調べる曲線を速さ一定のパラメータ（弧長に比例）で表し、 $u (t), v (t)$ を方程式に代入して両方の式が成り立つかを確かめる。成り立てば測地線（ $k_{g} = 0$ ）

例題

単位球面 $X (θ, φ) = (sin θ cos φ, sin θ sin φ, cos θ)$ （ $0 < θ < π$ ）上の曲線 $θ = θ_{0}, φ = t$ が測地線となるような定数 $θ_{0}$ （ $0 < θ_{0} < π$ ）を求めよ。

例題の解答

手順 1: $X_{θ} = (cos θ cos φ, cos θ sin φ, - sin θ)$ 、 $X_{φ} = (- sin θ sin φ, sin θ cos φ, 0)$ より $E = 1, F = 0, G = sin^{2} θ$ 。偏導関数で $0$ でないのは $G_{θ} = 2 sin θ cos θ$ だけ。

手順 2: $F = 0$ の公式で、 $u^{1} = θ, u^{2} = φ$ として
$Γ_{φφ}^{θ} = - \frac{G _{θ}}{2 E} = - sin θ cos θ, Γ_{θ φ}^{φ} = Γ_{φθ}^{φ} = \frac{G _{θ}}{2 G} = \frac{cos θ}{sin θ},$
ほかの $Γ_{ij}^{k}$ はすべて $0$ 。

手順 3: 測地線の方程式は
$θ ¨ - sin θ cos θ φ ˙^{2} = 0, φ ¨ + 2 \frac{cos θ}{sin θ} θ ˙ φ ˙ = 0.$

手順 4: 曲線 $θ = θ_{0}, φ = t$ は速さ $∣ γ ˙ ∣ = G = sin θ_{0}$ が一定なので、そのまま代入してよい。 $θ ˙ = θ ¨ = 0, φ ˙ = 1, φ ¨ = 0$ より、第 2 式は $0 = 0$ で常に成り立ち、第 1 式は $- sin θ_{0} cos θ_{0} = 0$ 。 $0 < θ_{0} < π$ では $sin θ_{0} > 0$ なので $cos θ_{0} = 0$ 、すなわち $θ_{0} = \frac{π}{2}$ （赤道）。

（前提の技能で求めた緯線 $z = \frac{1}{2}$ 、つまり $θ_{0} = \frac{π}{3}$ の $k_{g} = \frac{3}{3} \neq = 0$ とも合う。）

答え: $\frac{π}{2}$

よくある誤り

測地線の方程式で混合項の係数 2 を落とし、 $φ ¨ + Γ_{θ φ}^{φ} θ ˙ φ ˙ = 0$ と書いてしまう誤り。和 $Γ_{ij}^{k} u ˙^{i} u ˙^{j}$ には $(i, j) = (1, 2)$ と $(2, 1)$ の両方が入るので、正しくは $φ ¨ + 2 Γ_{θ φ}^{φ} θ ˙ φ ˙ = 0$ （単位球面なら $φ ¨ + 2 \frac{c o s θ}{s i n θ} θ ˙ φ ˙ = 0$ ）。
$g^{k l}$ （ $F = 0$ なら $E$ や $G$ で割ること）を忘れ、 $Γ_{22}^{1} = - \frac{G _{u}}{2}$ のようにしてしまう誤り。正しくは $Γ_{22}^{1} = - \frac{G _{u}}{2 E}$ 、 $Γ_{12}^{2} = \frac{G _{u}}{2 G}$ 。 $E = 1$ の例では差が見えないが、例えば $E = G = e^{2 u}, F = 0$ なら $Γ_{22}^{1} = - \frac{2 e ^{2 u}}{2 e ^{2 u}} = - 1$ で、割らないと $- e^{2 u}$ と誤る。
速さが一定でないパラメータのまま方程式に代入して「測地線ではない」と判定してしまう誤り。赤道を $θ = \frac{π}{2}, φ = t^{3}$ （ $t > 0$ ）と表すと $φ ¨ = 6 t \neq = 0$ で第 2 式が成り立たないが、曲線としては測地線である。正しくは、弧長に比例するパラメータに取り直してから代入する（測地線の方程式の解は必ず速さ一定）か、 $k_{g} = 0$ を直接確かめる。
$Γ_{ij}^{k}$ の上の添字と下の添字の役割を取り違え、 $Γ_{θ φ}^{θ}$ と $Γ_{θ θ}^{φ}$ のように別のものを混同してしまう誤り。上の添字 $k$ は「どの方程式（ $u ¨^{k}$ の式）に入るか」、下の添字 $i, j$ は「どの速度の積 $u ˙^{i} u ˙^{j}$ にかかるか」を表し、対称なのは下の 2 つだけ（ $Γ_{ij}^{k} = Γ_{j i}^{k}$ ）。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
$R^{2}$ の座標を $(u^{1}, u^{2}) = (u, v)$ とし、リーマン計量
$g = d u^{2} + e^{2 u} d v^{2}$
を考える。クリストッフェル記号を
$Γ_{ij}^{k} = \frac{1}{2} l = 1 \sum 2 g^{k l} (\frac{\partial g _{j l}}{\partial u ^{i}} + \frac{\partial g _{i l}}{\partial u ^{j}} - \frac{\partial g _{ij}}{\partial u ^{l}})$
で定める（ $(g^{k l})$ は $(g_{ij})$ の逆行列）。点 $(u, v) = (lo g 2, 0)$ における $Γ_{22}^{1}$ と $Γ_{12}^{2}$ の値を、組 $(Γ_{22}^{1}, Γ_{12}^{2})$ の形で求めよ。

クリストッフェル記号と測地線の方程式

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること