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微分幾何の問題

難易度 1大学院の講義の例題レベル大学院数学微分幾何

$R^{2}$ の座標を $(u^{1}, u^{2}) = (u, v)$ とし、リーマン計量
$g = d u^{2} + e^{2 u} d v^{2}$
を考える。クリストッフェル記号を
$Γ_{ij}^{k} = \frac{1}{2} l = 1 \sum 2 g^{k l} (\frac{\partial g _{j l}}{\partial u ^{i}} + \frac{\partial g _{i l}}{\partial u ^{j}} - \frac{\partial g _{ij}}{\partial u ^{l}})$
で定める（ $(g^{k l})$ は $(g_{ij})$ の逆行列）。点 $(u, v) = (lo g 2, 0)$ における $Γ_{22}^{1}$ と $Γ_{12}^{2}$ の値を、組 $(Γ_{22}^{1}, Γ_{12}^{2})$ の形で求めよ。

この問題で使うもの

クリストッフェル記号と測地線の方程式（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（83 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

技能「クリストッフェル記号と測地線の方程式」を使う。計量の成分 $g_{ij}$ とその逆行列 $g^{k l}$ を書き出し、定義式に代入する。

ヒント 2

計量は対角で、0 でない偏導関数は $\frac{\partial g _{22}}{\partial u} = 2 e^{2 u}$ だけである。対角なので和 $\sum_{l}$ では $l = k$ の項だけが残る。

ヒント 3

$Γ_{22}^{1} = - \frac{1}{2} \frac{\partial g _{22}}{\partial u}$ 、 $Γ_{12}^{2} = \frac{1}{2} g^{22} \frac{\partial g _{22}}{\partial u}$ となる。最後に $u = lo g 2$ を代入する。

答えと解説

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(- 4, 1)

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計量の成分. $g_{11} = 1$ , $g_{12} = g_{21} = 0$ , $g_{22} = e^{2 u}$ であり、逆行列は $g^{11} = 1$ , $g^{12} = g^{21} = 0$ , $g^{22} = e^{- 2 u}$ である。成分は $u$ だけの関数で、0 でない偏導関数は
$\frac{\partial g _{22}}{\partial u ^{1}} = 2 e^{2 u}$
だけである。

$Γ_{22}^{1}$ . $g^{12} = 0$ なので $l = 1$ の項だけが残り、
$Γ_{22}^{1} = \frac{1}{2} g^{11} (\frac{\partial g _{21}}{\partial u ^{2}} + \frac{\partial g _{21}}{\partial u ^{2}} - \frac{\partial g _{22}}{\partial u ^{1}}) = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot (0 + 0 - 2 e^{2 u}) = - e^{2 u} .$

$Γ_{12}^{2}$ . $g^{21} = 0$ なので $l = 2$ の項だけが残り、
$Γ_{12}^{2} = \frac{1}{2} g^{22} (\frac{\partial g _{22}}{\partial u ^{1}} + \frac{\partial g _{12}}{\partial u ^{2}} - \frac{\partial g _{12}}{\partial u ^{2}}) = \frac{1}{2} e^{- 2 u} \cdot 2 e^{2 u} = 1.$

点での値. $u = lo g 2$ では $e^{2 u} = e^{2 l o g 2} = 4$ なので $Γ_{22}^{1} = - 4$ 、 $Γ_{12}^{2} = 1$ である。

（参考: これらを使うと測地線の方程式は $u ¨ - e^{2 u} v ˙^{2} = 0$ , $v ¨ + 2 u ˙ v ˙ = 0$ となる。）

よって $(Γ_{22}^{1}, Γ_{12}^{2}) = (- 4, 1)$ 。

別解

$g_{11} = 1, g_{12} = 0, g_{22} = e^{2 u}$ 、 $g^{11} = 1, g^{22} = e^{- 2 u}$ 。
$Γ_{22}^{1} = \frac{1}{2} g^{11} (2 \partial_{v} g_{21} - \partial_{u} g_{22}) = \frac{1}{2} (0 - 2 e^{2 u}) = - e^{2 u}$ 。
$Γ_{12}^{2} = \frac{1}{2} g^{22} (\partial_{u} g_{22} + \partial_{v} g_{12} - \partial_{v} g_{12}) = \frac{1}{2} e^{- 2 u} \cdot 2 e^{2 u} = 1$ 。
$u = lo g 2$ で $e^{2 u} = 4$ なので $Γ_{22}^{1} = - 4$ , $Γ_{12}^{2} = 1$ 。
検算: $Γ_{12}^{2} = \partial_{u} lo g g_{22} = \partial_{u} u = 1$ で一致する。
よって $(Γ_{22}^{1}, Γ_{12}^{2}) = (- 4, 1)$ 。

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