曲面上の曲線の測地的曲率

曲面上の曲線の加速度を法成分と接成分に分けて、 $κ^{2} = k_{n}^{2} + k_{g}^{2}$ や $k_{g} = (ν \times γ^{'}) \cdot γ^{''}$ （弧長パラメータ）を使い、円錐面・球面上の円などの測地的曲率 $k_{g}$ を求められる

前提

空間曲線の曲率とねじれ率（大学院数学微分幾何）
第二基本形式と法曲率（大学院数学微分幾何）

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算数中学高校大学大学院

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第二基本形式と法曲率（大学院数学微分幾何）

説明

曲面上を動く曲線の曲がり方は、曲面そのものが曲がっていることによる部分（法曲率 $k_{n}$ ）と、曲面の中で見て左右に曲がっている部分（測地的曲率 $k_{g}$ ）に分けられます。この技能では、曲線の加速度をこの 2 方向に分解して、 $κ^{2} = k_{n}^{2} + k_{g}^{2}$ や $k_{g} = (ν \times γ^{'}) \cdot γ^{''}$ （弧長パラメータのとき）で $k_{g}$ を求めます。球面上の円や円錐面上の曲線が、曲面の中でどれだけ曲がっているか（ $k_{g} = 0$ なら曲面の中ではまっすぐに進んでいる）を数で表すときに使います。

なぜそうしてよいのか

曲面 $X (u, v)$ 上の曲線 $γ (s) = X (u (s), v (s))$ を弧長 $s$ でパラメータ表示し、単位接ベクトルを $T = γ^{'}$ とします。 $T \cdot T = 1$ を微分すると $2 T \cdot T^{'} = 0$ なので、加速度 $γ^{''} = T^{'}$ は $T$ に垂直です。曲線上の各点で、曲面の単位法線 $ν$ 、 $T$ 、そして $ν \times T$ の 3 つを考えると、 $T$ と $ν$ は垂直な単位ベクトルなので、これらは互いに垂直な単位ベクトルの組になります。 $ν \times T$ は接平面の中にあって $T$ に垂直な向き、つまり「曲面の中で進行方向の左（ $ν$ 側から見て）」を指します。 $γ^{''}$ は $T$ 成分をもたないので
$γ^{''} = k_{n} ν + k_{g} (ν \times T), k_{n} = γ^{''} \cdot ν, k_{g} = γ^{''} \cdot (ν \times T) = (ν \times γ^{'}) \cdot γ^{''}$
と分解できます。この $k_{g}$ を測地的曲率と呼びます。

$k_{n}$ が前提の技能の法曲率と一致することも確かめられます。連鎖律で $γ^{''} = X_{uu} u^{'2} + 2 X_{uv} u^{'} v^{'} + X_{v v} v^{'2} + X_{u} u^{''} + X_{v} v^{''}$ となり、 $X_{u}, X_{v}$ は $ν$ に垂直なので $γ^{''} \cdot ν = L u^{'2} + 2 M u^{'} v^{'} + N v^{'2}$ 。弧長パラメータでは $E u^{'2} + 2 F u^{'} v^{'} + G v^{'2} = ∣ γ^{'} ∣^{2} = 1$ なので、これは法曲率 $k_{n}$ そのものです。また、弧長パラメータでは曲率は $κ = ∣ γ^{''} ∣$ で、 $ν$ と $ν \times T$ は垂直な単位ベクトルなので三平方の定理から $κ^{2} = k_{n}^{2} + k_{g}^{2}$ が成り立ちます。

一般のパラメータ $t$ のときは、 $γ^{'} = \frac{d s}{d t} T$ 、 $γ^{''} = \frac{d ^{2} s}{d t ^{2}} T + (\frac{d s}{d t})^{2} \frac{d T}{d s}$ で、 $T$ 成分は $ν \times γ^{'}$ との内積で消えるので $k_{g} = \frac{( ν \times γ ^{'} ) \cdot γ ^{''}}{∣ γ ^{'} ∣ ^{3}}$ になります。 $k_{g}$ の符号は $ν$ の向きと進む向きで決まり、どちらか一方を逆にすると符号が変わります。

手順

曲線 $γ$ を（できれば弧長 $s$ で）パラメータ表示し、 $γ^{'}$ と $γ^{''}$ を求める
曲線上の点での曲面の単位法線 $ν$ を、問題で指定された向きに決める（曲線の主法線ではなく、曲面の法線）
$ν \times γ^{'}$ を計算し、 $k_{g} = (ν \times γ^{'}) \cdot γ^{''}$ を求める。一般のパラメータなら $k_{g} = \frac{( ν \times γ ^{'} ) \cdot γ ^{''}}{∣ γ ^{'} ∣ ^{3}}$
大きさだけ必要なときや検算には、 $k_{n} = γ^{''} \cdot ν$ （または法曲率の公式）と曲率 $κ$ から $k_{g}^{2} = κ^{2} - k_{n}^{2}$ を使う

例題

単位球面 $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1$ 上の円 $z = \frac{1}{2}$ を、 $z$ 軸の正の側から見て反時計回りに進む向きにとる。球面の単位法線 $ν$ を外向きにとるとき、この円の測地的曲率 $k_{g}$ を求めよ。

例題の解答

手順 1: 円の半径は $r = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{2}$ 。弧長 $s$ で $γ (s) = (r cos \frac{s}{r}, r sin \frac{s}{r}, \frac{1}{2})$ と表すと、これは反時計回りで、 $c = cos \frac{s}{r}, σ = sin \frac{s}{r}$ とおくと
$γ^{'} = (- σ, c, 0), γ^{''} = - \frac{1}{r} (c, σ, 0) .$
$∣ γ^{'} ∣ = 1$ なので弧長パラメータになっている。

手順 2: 単位球面の外向き単位法線は位置ベクトルそのものなので $ν = (r c, r σ, \frac{1}{2})$ 。

手順 3:
$ν \times γ^{'} = (r σ \cdot 0 - \frac{1}{2} c, \frac{1}{2} \cdot (- σ) - r c \cdot 0, r c \cdot c - r σ \cdot (- σ)) = (- \frac{c}{2}, - \frac{σ}{2}, r) .$
よって
$k_{g} = (ν \times γ^{'}) \cdot γ^{''} = - \frac{1}{r} (- \frac{c ^{2}}{2} - \frac{σ ^{2}}{2}) = \frac{1}{2 r} = \frac{1}{3} = \frac{3}{3} .$

手順 4（検算）: 円の曲率は $κ = \frac{1}{r} = \frac{2}{3}$ 。 $k_{n} = γ^{''} \cdot ν = - \frac{1}{r} (r c^{2} + r σ^{2}) = - 1$ 。 $k_{n}^{2} + k_{g}^{2} = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3} = κ^{2}$ で一致する。

したがって $k_{g} = \frac{3}{3}$ 。

答え: $\frac{3}{3}$

よくある誤り

曲面上の曲線の曲率 $κ$ をそのまま $k_{g}$ としてしまう誤り。 $κ$ には曲面の曲がりによる部分 $k_{n}$ も含まれる。例題の円では $κ = \frac{2}{3}$ だが、正しくは $k_{g}^{2} = κ^{2} - k_{n}^{2} = \frac{4}{3} - 1 = \frac{1}{3}$ で $∣ k_{g} ∣ = \frac{3}{3}$ 。
弧長パラメータでないのに $k_{g} = (ν \times γ^{'}) \cdot γ^{''}$ をそのまま使ってしまう誤り。例題の円を $γ (t) = (r cos t, r sin t, \frac{1}{2})$ と表すと $(ν \times γ^{'}) \cdot γ^{''} = \frac{r ^{2}}{2}$ となり食い違う。正しくは $k_{g} = \frac{( ν \times γ ^{'} ) \cdot γ ^{''}}{∣ γ ^{'} ∣ ^{3}} = \frac{r ^{2} /2}{r ^{3}} = \frac{1}{2 r}$ 。
$ν$ として曲線の主法線（ $γ^{''}$ の向き）を使ってしまう誤り。そうすると $ν \times γ^{'}$ が $γ^{''}$ に垂直になって常に $k_{g} = 0$ になる。正しくは $ν$ は曲面の単位法線（単位球面なら外向き $ν = γ$ など）。
$k_{g}$ の符号を気にせず $κ^{2} = k_{n}^{2} + k_{g}^{2}$ だけで答えてしまう誤り。この式からは $∣ k_{g} ∣$ しかわからない。進む向きか $ν$ の向きを逆にすると $k_{g}$ は $- k_{g}$ になる（例題を時計回りにすると $k_{g} = - \frac{3}{3}$ ）ので、符号まで求めるときは $(ν \times γ^{'}) \cdot γ^{''}$ で計算する。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
$R^{3}$ 内の回転放物面
$S = {(x, y, z) \in R^{3} ∣ z = x^{2} + y^{2}}$
に $R^{3}$ の標準内積から誘導される計量を入れ、 $S$ の単位法線ベクトルを
$ν (x, y, z) = \frac{( - 2 x , - 2 y , 1 )}{1 + 4 x ^{2} + 4 y ^{2}}$
と定める。 $S$ 上の曲線
$γ (s) = (cos s, sin s, 1) (s \in R)$
を考える（ $s$ は弧長パラメータである）。 $γ$ の測地的曲率を $k_{g} = (ν \times γ^{'}) \cdot γ^{''}$ で定めるとき、 $k_{g}$ の値を求めよ。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

クリストッフェル記号と測地線の方程式（大学院数学微分幾何）