微分幾何の問題

$a>0$ を定数とし、円柱面 $Z=\{(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3:x^2+y^2=a^2\}$ を考える。$I\subset \mathbb{R}$ を開区間、$\gamma =({\gamma }_1,{\gamma }_2,{\gamma }_3):I\to {\mathbb{R}}^3$ を弧長でパラメータ付けられた（すべての $s$ で $|{\gamma }^{\prime }(s)|=1$ の）$C^{\infty }$ 級の曲線で、すべての $s\in I$ で $\gamma (s)\in Z$ を満たすものとし、その曲率を $\kappa (s)=|{\gamma }^{\prime \prime }(s)|$ とする。

なお、$C^{\infty }$ 級の写像 $\sigma :I\to {\mathbb{R}}^2$ がすべての $s$ で $|\sigma (s)|=a$ を満たすならば、$C^{\infty }$ 級の関数 $\theta :I\to \mathbb{R}$ があって $\sigma (s)=(a\cos \theta (s),a\sin \theta (s))$ と書けることは用いてよい。

次の 2 つを証明せよ。
- すべての $s\in I$ で $\kappa (s)\ge \frac{1-{\gamma }_3^{\prime }(s{)}^2}{a}$ が成り立つ。
- この不等式の等号がすべての $s\in I$ で成り立つための必要十分条件は、${\omega }^2{a}^2+c^2=1$ を満たす実数の定数 $c,\omega$ と実数の定数 $\phi ,d$ があって、すべての $s\in I$ で
$$\gamma (s)=(a\cos (\omega s+\phi ),a\sin (\omega s+\phi ),cs+d)$$
と書けることである。

$S\subset {\mathbb{R}}^3$ を向き付けられた $C^{\infty }$ 級正則曲面とし、正の定数 ${\kappa }_1\le {\kappa }_2$ があって、$S$ のガウス曲率 $K$ はすべての点で
$$-{\kappa }_2\le K\le -{\kappa }_1$$
を満たすとする。

$n\ge 3$ を整数とする。$R\subset S$ は閉円板と同相なコンパクト集合で、その境界 $\partial R$ は、$n$ 個の頂点 $v_1,\dots ,v_n$ を順に結ぶ $n$ 本の測地線の弧（いずれも $C^{\infty }$ 級で正則）をつないだ単純閉曲線であり、$R$ に関して正の向き（$R$ を左手に見る向き）にたどられるとする。頂点 $v_i$ における $R$ の内角 ${\phi }_i$ は $0<{\phi }_i<2\pi$ を満たすとし、$R$ の面積を $A={\iint }_{R}dA(>0)$ とする。

なお、次の局所ガウス・ボンネの定理は用いてよい: $R\subset S$ が閉円板と同相な領域で、その境界が正の向きにたどられた区分的に正則な単純閉曲線であり、頂点 $v_1,\dots ,v_k$ における外角 ${\theta }_i=\pi -{\phi }_i$（${\phi }_i$ は $R$ の内角）が $-\pi <{\theta }_i<\pi$ を満たすならば
$${\iint }_{R}KdA+{\int }_{\partial R}{k}_{g}ds+\sum _{i=1}^k{\theta }_i=2\pi$$
が成り立つ。ここで $k_g$ は境界の測地的曲率である。

$\Phi ={\phi }_1+\cdots +{\phi }_n$ とおくとき、
$$\frac{(n-2)\pi -\Phi }{{\kappa }_2}\le A\le \frac{(n-2)\pi -\Phi }{{\kappa }_1}$$
が成り立ち、特に $\Phi <(n-2)\pi$ であることを証明せよ。

$S\subset {\mathbb{R}}^3$ を空でないコンパクトな $C^{\infty }$ 級正則曲面（境界をもたない 2 次元部分多様体）とし、$R>0$ を定数とする。$S$ は原点を中心とする半径 $R$ の閉球に含まれる、すなわちすべての $p\in S$ で $|p|\le R$ であるとする。

各点 $p\in S$ の近くで単位法ベクトル場 $N$ を 1 つ選び、第二基本形式を ${\mathrm{II}}_p(v)=-⟨d{N}_p(v),v⟩$（$v\in T_{p}S$）、ガウス曲率を $K(p)=\det (-d{N}_p)$ と定める（$K(p)$ は $N$ の向きの選び方によらない）。次の事実は用いてよい。
- $S$ 上の $C^{\infty }$ 級の曲線 $\alpha$ が弧長でパラメータ付けられ $\alpha (0)=p$ ならば、${\mathrm{II}}_p({\alpha }^{\prime }(0))=⟨{\alpha }^{\prime \prime }(0),N(p)⟩$ が成り立つ。
- $T_{p}S$ の単位ベクトル $v$ を動かしたときの ${\mathrm{II}}_p(v)$ の最大値 $k_1$ と最小値 $k_2$（主曲率）について $K(p)=k_1{k}_2$ が成り立つ。

このとき、$K(p_0)\ge \frac{1}{R^2}$ を満たす点 $p_0\in S$ が存在することを証明せよ。

${\mathbb{R}}^3$ の座標を $(x,y,z)$ とし、リーマン計量
$$g=d{x}^2+d{y}^2+4(dz-xdy{)}^2$$
を考える。$\nabla$ を $g$ のレヴィ・チビタ接続とし、曲率テンソルを $R(X,Y)Z={\nabla }_X{\nabla }_{Y}Z-{\nabla }_Y{\nabla }_{X}Z-{\nabla }_{[X,Y]}Z$ で定める。$2$ 次元部分空間 $\sigma$ の断面曲率は、$\sigma$ の正規直交基底 $u,v$ を用いて $K(\sigma )=g(R(u,v)v,u)$ で定める（この定め方では単位球面の断面曲率は $1$ である）。原点 $p=(0,0,0)$ における接空間 $T_p{\mathbb{R}}^3$ の $2$ 次元部分空間 $\sigma$ 全体を動かすとき、$K(\sigma )$ の最大値と最小値を、この順に組で求めよ。

${\mathbb{R}}^3$ に標準内積と標準的な向きを入れる。弧長 $s$ でパラメータ付けられた滑らかな曲線 $\gamma :[0,1]\to {\mathbb{R}}^3$ の曲率 $\kappa (s)$ とねじれ率 $\tau (s)$ が
$$\kappa (s)=\frac{1}{2\cos (\log (1+s))+\sin (\log (1+s))},\tau (s)=\frac{1}{1+s}(0\le s\le 1)$$
で与えられているとする。ここでフルネ枠 $(T,N,B)$ は正の向きの正規直交枠（$B=T\times N$）であり、フルネ・セレの公式
$$T^{\prime }=\kappa N,N^{\prime }=-\kappa T+\tau B,B^{\prime }=-\tau N\left({}^{\prime }=\frac{d}{ds}\right)$$
を満たすものとする。さらに初期条件
$$\gamma (0)=(0,0,0),T(0)=(1,0,0),N(0)=(0,1,0),B(0)=(0,0,1)$$
を課す（曲線論の基本定理により、このような $\gamma$ はただ一つ存在する）。

$\gamma$ の像はある球面にちょうど含まれ、そのような球面はただ一つであることが知られている。この球面の中心の座標を求めよ。