微分幾何の問題

正規直交枠をとる。 余枠を
$${\theta }^1=dx,{\theta }^2=dy,{\theta }^3=2(dz-xdy)$$
とおくと $g=({\theta }^1{)}^2+({\theta }^2{)}^2+({\theta }^3{)}^2$ である。双対枠は
$$e_1={\partial }_x,e_2={\partial }_y+x{\partial }_z,e_3=\frac{1}{2}{\partial }_z$$
である。実際 ${\theta }^3(e_2)=2(x-x)=0$、${\theta }^3(e_3)=1$ などが確かめられる。$\{e_1,e_2,e_3\}$ は ${\mathbb{R}}^3$ 全体で定義された $g$ の正規直交枠である。括弧積は
$$[e_1,e_2]=[{\partial }_x,{\partial }_y+x{\partial }_z]={\partial }_z=2e_3,[e_1,e_3]=[e_2,e_3]=0$$
となる。以下 $\lambda =2$ とおき、$[e_1,e_2]=\lambda e_3$ と書く。

レヴィ・チビタ接続。 内積 $g(e_i,e_j)$ は定数なので、コシュルの公式は
$$g({\nabla }_{X}Y,Z)=\frac{1}{2}(g([X,Y],Z)-g([Y,Z],X)+g([Z,X],Y))$$
となる。たとえば $Z=e_2$ として $g({\nabla }_{e_1}{e}_3,e_2)=\frac{1}{2}g([e_2,e_1],e_3)=-\frac{\lambda }{2}$ である。同様に計算して次が得られる。
$${\nabla }_{e_1}{e}_2=\frac{\lambda }{2}{e}_3,{\nabla }_{e_2}{e}_1=-\frac{\lambda }{2}{e}_3,{\nabla }_{e_1}{e}_3={\nabla }_{e_3}{e}_1=-\frac{\lambda }{2}{e}_2,$$
$${\nabla }_{e_2}{e}_3={\nabla }_{e_3}{e}_2=\frac{\lambda }{2}{e}_1,{\nabla }_{e_i}{e}_i=0(i=1,2,3).$$

曲率。 問題文の定義 $R(X,Y)Z={\nabla }_X{\nabla }_{Y}Z-{\nabla }_Y{\nabla }_{X}Z-{\nabla }_{[X,Y]}Z$、$K(u,v)=g(R(u,v)v,u)$ を用いる。

• $R(e_1,e_2)e_2={\nabla }_{e_1}(0)-{\nabla }_{e_2}\left(\frac{\lambda }{2}{e}_3\right)-\lambda {\nabla }_{e_3}{e}_2=-\frac{{\lambda }^2}{4}{e}_1-\frac{{\lambda }^2}{2}{e}_1=-\frac{3{\lambda }^2}{4}{e}_1$ なので、$K(e_1,e_2)=-\frac{3{\lambda }^2}{4}$ である。
• $R(e_1,e_3)e_3=0-{\nabla }_{e_3}(-\frac{\lambda }{2}{e}_2)-0=\frac{{\lambda }^2}{4}{e}_1$ なので、$K(e_1,e_3)=\frac{{\lambda }^2}{4}$ である。同様に $R(e_2,e_3)e_3=-{\nabla }_{e_3}(\frac{\lambda }{2}{e}_1)=\frac{{\lambda }^2}{4}{e}_2$ より $K(e_2,e_3)=\frac{{\lambda }^2}{4}$ である。
• 非対角成分を調べる。$R(e_3,e_1)e_2={\nabla }_{e_3}(\frac{\lambda }{2}{e}_3)-{\nabla }_{e_1}(\frac{\lambda }{2}{e}_1)-0=0$、$R(e_2,e_1)e_3={\nabla }_{e_2}(-\frac{\lambda }{2}{e}_2)-{\nabla }_{e_1}(\frac{\lambda }{2}{e}_1)+\lambda {\nabla }_{e_3}{e}_3=0$、$R(e_1,e_2)e_3={\nabla }_{e_1}(\frac{\lambda }{2}{e}_1)-{\nabla }_{e_2}(-\frac{\lambda }{2}{e}_2)-\lambda {\nabla }_{e_3}{e}_3=0$ から、リッチ曲率の非対角成分 $\mathrm{Ric}(e_i,e_j)(i\ne j)$ はすべて $0$ である。

したがってリッチ曲率はこの枠で対角化され、
$$\mathrm{Ric}(e_1,e_1)=\mathrm{Ric}(e_2,e_2)=-\frac{3{\lambda }^2}{4}+\frac{{\lambda }^2}{4}=-\frac{{\lambda }^2}{2},\mathrm{Ric}(e_3,e_3)=\frac{{\lambda }^2}{4}+\frac{{\lambda }^2}{4}=\frac{{\lambda }^2}{2}$$
となる。スカラー曲率は $s=-\frac{{\lambda }^2}{2}-\frac{{\lambda }^2}{2}+\frac{{\lambda }^2}{2}=-\frac{{\lambda }^2}{2}$ である。

断面曲率の範囲。 $3$ 次元では、平面 $\sigma$ の単位法ベクトルを $n$、$\sigma$ の正規直交基底を $u,v$ とすると、次が成り立つ。
$$\mathrm{Ric}(n,n)=K(n,u)+K(n,v),s=2(K(u,v)+K(n,u)+K(n,v))$$
よって
$$K(\sigma )=\frac{s}{2}-\mathrm{Ric}(n,n)=-\frac{{\lambda }^2}{4}-\mathrm{Ric}(n,n)$$
である（$n=e_3$ のとき $-\frac{{\lambda }^2}{4}-\frac{{\lambda }^2}{2}=-\frac{3{\lambda }^2}{4}$ となり上の計算と一致する）。単位ベクトル $n=\sum n_i{e}_i$ に対し
$$\mathrm{Ric}(n,n)=-\frac{{\lambda }^2}{2}(n_1^2+n_2^2)+\frac{{\lambda }^2}{2}{n}_3^2$$
は $\left[-\frac{{\lambda }^2}{2},\frac{{\lambda }^2}{2}\right]$ のすべての値をとる。ゆえに
$$-\frac{3{\lambda }^2}{4}\le K(\sigma )\le \frac{{\lambda }^2}{4}$$
であり、最小値は $\sigma =⟨e_1,e_2⟩$（$n=e_3$）で、最大値は $e_3$ を含む平面（$n\perp e_3$）で達成される。

$\lambda =2$ を代入すると、最大値は $1$、最小値は $-3$ である。答えは $(1,-3)$ である。

正規直交枠 $e_1={\partial }_x,e_2={\partial }_y+x{\partial }_z,e_3=\frac{1}{2}{\partial }_z$ をとる。双対枠は $dx,dy,2(dz-xdy)$ であり、$g$ はこの枠で正規直交になる。$[e_1,e_2]={\partial }_z=2e_3$、$[e_1,e_3]=[e_2,e_3]=0$ である。

これは左不変計量をもつハイゼンベルク群で、Milnor の記法では ${\lambda }_1={\lambda }_2=0,{\lambda }_3=2$ にあたる。このとき ${\mu }_i=\frac{1}{2}({\lambda }_1+{\lambda }_2+{\lambda }_3)-{\lambda }_i$ は ${\mu }_1={\mu }_2=1,{\mu }_3=-1$ である。

コズュル公式より、${\nabla }_{e_1}{e}_2=e_3,{\nabla }_{e_2}{e}_1=-e_3,{\nabla }_{e_1}{e}_3=-e_2,{\nabla }_{e_3}{e}_1=-e_2,{\nabla }_{e_2}{e}_3=e_1,{\nabla }_{e_3}{e}_2=e_1$ となる。これから $K(e_1,e_2)=-3,K(e_1,e_3)=K(e_2,e_3)=1$ が得られる。

曲率作用素は ${\Lambda }^2$ の基底 $e_2\wedge e_3,e_3\wedge e_1,e_1\wedge e_2$ で対角であり、固有値は $1,1,-3$ である。

部分空間 $\sigma$ の単位法ベクトルを $n=(n_1,n_2,n_3)$ とする。$\sigma$ は Hodge 双対 $\ast n$ に対応するので、
$$K(\sigma )=n_1^2+n_2^2-3n_3^2=1-4n_3^2$$
となる。$n_3^2\in [0,1]$ なので、最大値は $1$（$n_3=0$）、最小値は $-3$（$n=e_3$、すなわち $\sigma =\mathrm{span}(e_1,e_2)$）である。

検算として、リッチ曲率は $\mathrm{Ric}(e_1)=K_{12}+K_{13}=-2$、$\mathrm{Ric}(e_3)=2$ となり、Milnor の公式 $2{\mu }_1{\mu }_2=2$、$2{\mu }_2{\mu }_3=-2$ と一致する。

答え：$(1,-3)$。