計量から求めるガウス曲率（驚異の定理）

第一基本形式だけからガウス曲率を求められる。直交座標（ $F = 0$ ）なら $K = - \frac{1}{2 E G} [(\frac{E _{v}}{E G})_{v} + (\frac{G _{u}}{E G})_{u}]$ 、共形計量 $λ (d x^{2} + d y^{2})$ なら $K = - \frac{Δ lo g λ}{2 λ}$ を使い、双曲計量 $\frac{d x ^{2} + d y ^{2}}{y ^{2}}$ の曲率が $- 1$ になることを確かめられる

前提

第一基本形式とリーマン計量（大学院数学微分幾何）

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算数中学高校大学大学院

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第一基本形式とリーマン計量（大学院数学微分幾何）

説明

ガウス曲率 $K$ は曲面の各点での曲がり具合を 1 つの数で表したもので、平面では $0$ 、半径 $R$ の球面では $\frac{1}{R ^{2}}$ です。ガウスの驚異の定理によれば、 $K$ は曲面が空間の中でどう置かれているかによらず、第一基本形式 $E, F, G$ だけで決まります。この技能では、直交座標（ $F = 0$ ）の公式や共形計量 $λ (d x^{2} + d y^{2})$ の公式を使って、計量だけから $K$ を計算できるようになります。曲面がなく計量だけが与えられた場合（双曲平面など）にも、同じ公式で曲率が求まります。

なぜそうしてよいのか

なぜ曲がり具合が「曲面の上の長さの測り方」だけで決まるのかを、直観的に見ます。曲面上の点 $p$ から曲面に沿った距離（曲面上の曲線の長さの最小値）が $r$ 以下の点の集まりを考え、その周の長さを $C (r)$ とします。平面なら $C (r) = 2 π r$ ですが、半径 $R$ の球面では、北極から測ると周は緯線で、その半径は $R sin \frac{r}{R}$ なので $C (r) = 2 π R sin \frac{r}{R} = 2 π r - \frac{π r ^{3}}{3 R ^{2}} + \dots$ と平面より短くなります。一般の曲面でも $C (r) = 2 π r - \frac{π}{3} K r^{3} + \dots$ となり、 $K$ は「円周が平面と比べてどれだけ短いか（ $K < 0$ なら長いか）」で決まります。 $C (r)$ は曲線の長さだけ、つまり第一基本形式だけから計算できる量なので、 $K$ も第一基本形式だけで決まるのです。

これを具体的な公式にしたものが、直交座標（ $F = 0$ ）での
$K = - \frac{1}{2 E G} [(\frac{E _{v}}{E G})_{v} + (\frac{G _{u}}{E G})_{u}]$
です（ $E_{v} = \frac{\partial E}{\partial v}$ など）。計量だけが与えられたときは、この式を $K$ の定義と考えます。球面の計量 $d θ^{2} + sin^{2} θ d φ^{2}$ （ $0 < θ < π$ ）で確かめると、 $E = 1, G = sin^{2} θ$ 、 $E G = sin θ$ で、 $E_{φ} = 0$ 、 $\frac{G _{θ}}{E G} = \frac{2 s i n θ c o s θ}{s i n θ} = 2 cos θ$ 、これを $θ$ で微分して $- 2 sin θ$ 。よって $K = - \frac{1}{2 s i n θ} (- 2 sin θ) = 1$ で、単位球面の値と一致します。

共形計量 $λ (x, y) (d x^{2} + d y^{2})$ （ $λ > 0$ ）は $E = G = λ, F = 0$ の特別な場合です。 $E G = λ$ で、 $\frac{E _{y}}{λ} = \frac{λ _{y}}{λ} = (lo g λ)_{y}$ 、 $\frac{G _{x}}{λ} = (lo g λ)_{x}$ なので、上の公式は
$K = - \frac{1}{2 λ} [(lo g λ)_{y y} + (lo g λ)_{xx}] = - \frac{Δ lo g λ}{2 λ}, Δ = \frac{\partial ^{2}}{\partial x ^{2}} + \frac{\partial ^{2}}{\partial y ^{2}}$
となります。たとえば双曲計量 $\frac{d x ^{2} + d y ^{2}}{y ^{2}}$ （ $y > 0$ ）では $lo g λ = - 2 lo g y$ 、 $Δ lo g λ = \frac{2}{y ^{2}}$ なので $K = - \frac{2/ y ^{2}}{2/ y ^{2}} = - 1$ です。

手順

計量から $E, F, G$ を読み取り、 $F = 0$ であることを確かめる（共形計量 $λ (d x^{2} + d y^{2})$ なら $E = G = λ$ と読む）
直交座標の場合: $E G$ と $E_{v}, G_{u}$ を計算し、 $\frac{E _{v}}{E G}$ を $v$ で、 $\frac{G _{u}}{E G}$ を $u$ で偏微分する
直交座標の場合: $K = - \frac{1}{2 E G} [(\frac{E _{v}}{E G})_{v} + (\frac{G _{u}}{E G})_{u}]$ に代入して整理する
共形計量の場合: $lo g λ$ を求め、 $Δ lo g λ = (lo g λ)_{xx} + (lo g λ)_{y y}$ を計算して $K = - \frac{Δ l o g λ}{2 λ}$ に代入する

例題

$R^{2}$ 上の計量 $d s^{2} = \frac{d x ^{2} + d y ^{2}}{( 1 + x ^{2} + y ^{2} ) ^{2}}$ のガウス曲率 $K$ を求めよ。

例題の解答

【手順 1】 $E = G = λ = \frac{1}{( 1 + x ^{2} + y ^{2} ) ^{2}}$ 、 $F = 0$ で、共形計量である。 $λ > 0$ が $R^{2}$ 全体で成り立つ。

【手順 4】 $lo g λ = - 2 lo g (1 + x^{2} + y^{2})$ 。 $r^{2} = x^{2} + y^{2}$ とおくと
$(lo g λ)_{x} = \frac{- 4 x}{1 + r ^{2}}, (lo g λ)_{xx} = \frac{- 4 ( 1 + r ^{2} ) + 8 x ^{2}}{( 1 + r ^{2} ) ^{2}} .$
同様に $(lo g λ)_{y y} = \frac{- 4 ( 1 + r ^{2} ) + 8 y ^{2}}{( 1 + r ^{2} ) ^{2}}$ 。足すと
$Δ lo g λ = \frac{- 8 ( 1 + r ^{2} ) + 8 r ^{2}}{( 1 + r ^{2} ) ^{2}} = \frac{- 8}{( 1 + r ^{2} ) ^{2}} .$
よって
$K = - \frac{Δ lo g λ}{2 λ} = - \frac{- 8/ ( 1 + r ^{2} ) ^{2}}{2/ ( 1 + r ^{2} ) ^{2}} = 4.$
（曲率は点によらず一定で $4$ である。これは半径 $\frac{1}{2}$ の球面の曲率 $\frac{1}{( 1/2 ) ^{2}}$ に等しい。）

答え: $4$

よくある誤り

共形計量の公式で $Δ λ$ を使ってしまう誤り。正しくは $lo g λ$ のラプラシアン $Δ lo g λ$ を使う。双曲計量 $λ = y^{- 2}$ では $Δ λ = 6 y^{- 4}$ だが、正しい計算は $Δ lo g λ = Δ (- 2 lo g y) = \frac{2}{y ^{2}}$ で、 $K = - 1$
分母の $2 λ$ や全体の負号を落としてしまう誤り。正しくは $K = - \frac{Δ l o g λ}{2 λ}$ 。双曲計量で負号を落とすと $K = + 1$ 、 $2$ を落とすと $K = - 2$ になってしまう
直交座標の公式で、 $E$ を $u$ で、 $G$ を $v$ で微分してしまう誤り。正しくは $E$ は $v$ で、 $G$ は $u$ で微分し、 $(\frac{E _{v}}{E G})_{v} + (\frac{G _{u}}{E G})_{u}$ 。球面 $d θ^{2} + sin^{2} θ d φ^{2}$ では $G_{θ} = 2 sin θ cos θ$ を使い、 $G_{φ} = 0$ を使ってはいけない
$F \neq = 0$ の計量に直交座標の公式をそのまま使ってしまう誤り。この公式は $F = 0$ のときにだけ成り立つ。たとえば $d u^{2} + 2 cos ω d u d v + d v^{2}$ （ $ω$ は定数）に対して $F$ を無視してはならず、座標を取り替えて $F = 0$ にするか、 $F$ を含む一般の公式を使う必要がある

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
領域 $U = {(u, v) \in R^{2} ∣ u > 0}$ にリーマン計量
$g = d u^{2} + u^{4} d v^{2}$
を入れる。 $(U, g)$ の点 $(u, v)$ におけるガウス曲率 $K$ を $u, v$ の式で表せ。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

ガウス・ボンネの定理（局所版・測地多角形）（大学院数学微分幾何）
リーマンテンソル・リッチテンソル・リッチスカラー（大学院物理一般相対論）