リーマンテンソル・リッチテンソル・リッチスカラー

指定された符号の定義 $R^{ρ}_{σ μν} = \partial_{μ} Γ_{ν σ}^{ρ} - \partial_{ν} Γ_{μ σ}^{ρ} + Γ_{μ λ}^{ρ} Γ_{ν σ}^{λ} - Γ_{ν λ}^{ρ} Γ_{μ σ}^{λ}$ でクリストッフェル記号からリーマンテンソルの成分を計算し、縮約してリッチテンソル $R_{μν}$ とリッチスカラー $R$ （例: $- d t^{2} + t^{2 p} d x^{2} + t^{2 q} d y^{2}$ の $R$ ）を求められる

前提

時空の計量とクリストッフェル記号（大学院物理一般相対論）
計量から求めるガウス曲率（驚異の定理）（大学院数学微分幾何）

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算数中学高校大学大学院

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時空の計量とクリストッフェル記号（大学院物理一般相対論）
計量から求めるガウス曲率（驚異の定理）（大学院数学微分幾何）

説明

時空がどれだけ曲がっているかは、計量そのものではなく、計量の 2 階微分からつくるリーマンテンソル $R^{ρ}_{σ μν}$ で表されます。この技能では、クリストッフェル記号を微分したり掛け合わせたりしてリーマンテンソルの成分を計算し、それを縮約してリッチテンソル $R_{μν}$ とリッチスカラー $R$ を求めます。アインシュタイン方程式の左辺はこれらでできているので、膨張宇宙やブラックホールの計量を扱うときに必ず通る計算です。2 次元の曲面では、リッチスカラーはガウス曲率の 2 倍になり、驚異の定理で学んだ曲率の一般化になっています。

なぜそうしてよいのか

ベクトル場 $V^{ρ}$ の共変微分を $\nabla_{μ} V^{ρ} = \partial_{μ} V^{ρ} + Γ_{μ λ}^{ρ} V^{λ}$ と定義します。平らな空間で直交座標を使えば $Γ = 0$ なので、微分の順序を入れ替えても結果は変わりません。曲がった空間では、2 方向の共変微分の順序を入れ替えた差が残り、その差は $V$ を微分せずに $V$ に比例する形になります:
$[\nabla_{μ}, \nabla_{ν}] V^{ρ} = R^{ρ}_{σ μν} V^{σ},$
$R^{ρ}_{σ μν} = \partial_{μ} Γ_{ν σ}^{ρ} - \partial_{ν} Γ_{μ σ}^{ρ} + Γ_{μ λ}^{ρ} Γ_{ν σ}^{λ} - Γ_{ν λ}^{ρ} Γ_{μ σ}^{λ} .$
実際、 $\nabla_{μ} \nabla_{ν} V^{ρ}$ を展開すると $\partial_{μ} \partial_{ν} V^{ρ}$ や $\partial V$ を含む項は $μ \leftrightarrow ν$ について対称になって差から消え（ $Γ$ の下添字の対称性を使う）、 $Γ$ の微分と $Γ$ どうしの積だけが残ります。これは「小さな閉曲線に沿ってベクトルを平行移動して戻ると向きが変わる」量で、曲面上で測地線の三角形の内角の和が $π$ からずれることの一般化です。座標を変えて $Γ$ を一点で $0$ にしても $\partial Γ$ は $0$ にできないので、リーマンテンソルは座標のとり方でごまかせない本物の曲がりを表します。

リーマンテンソルは $μν$ について反対称（ $R^{ρ}_{σ μν} = - R^{ρ}_{σ ν μ}$ ）なので、 $μ = ν$ の成分は $0$ で、 $μ < ν$ だけ計算すれば足ります。添字を 1 番目と 3 番目で縮約したものがリッチテンソル $R_{σ ν} = R^{ρ}_{σ ρ ν}$ （ $σ ν$ について対称）、さらに逆計量で縮約したものがリッチスカラー $R = g^{σ ν} R_{σ ν}$ です。2 次元の正定値計量では独立な成分が 1 つしかなく、この流儀で $R = 2 K$ （ $K$ はガウス曲率）となります。例えば半径 $r$ の球面で $R = 2/ r^{2}$ です。

対角計量 $- d t^{2} + \sum_{i} a_{i} (t)^{2} (d x^{i})^{2}$ では、この計算で $R = 2 \sum_{i} \frac{a ¨ _{i}}{a _{i}} + 2 \sum_{i < j} \frac{a ˙ _{i} a ˙ _{j}}{a _{i} a _{j}}$ となります。例えば $- d t^{2} + t^{2 p} d x^{2} + t^{2 q} d y^{2}$ では $R = \frac{2 ( p ^{2} + q ^{2} + pq - p - q )}{t ^{2}}$ 、平坦な膨張宇宙 $- d t^{2} + a^{2} (d x^{2} + d y^{2} + d z^{2})$ では $R = 6 (\frac{a ¨}{a} + \frac{a ˙ ^{2}}{a ^{2}})$ です。

手順

計量と符号の流儀を確認し、ゼロでないクリストッフェル記号をすべて求める（前提の技能）
リーマンテンソルの定義 $R^{ρ}_{σ μν} = \partial_{μ} Γ_{ν σ}^{ρ} - \partial_{ν} Γ_{μ σ}^{ρ} + Γ_{μ λ}^{ρ} Γ_{ν σ}^{λ} - Γ_{ν λ}^{ρ} Γ_{μ σ}^{λ}$ に入れて、リッチテンソルに必要な成分 $R^{ρ}_{σ ρ ν}$ （ $ρ \neq = ν$ のもの）を計算する。 $λ$ の和はすべての値について取る
1 番目と 3 番目の添字を縮約してリッチテンソル $R_{σ ν} = \sum_{ρ} R^{ρ}_{σ ρ ν}$ を求める（ $ρ = ν$ の項は反対称性で $0$ ）
逆計量で縮約してリッチスカラー $R = g^{σ ν} R_{σ ν}$ を求める（対角なら $R = \sum_{σ} g^{σ σ} R_{σ σ}$ ）
既知の例（球面で $R = 2/ r^{2}$ 、 $a = e^{H t}$ で正の値など）や次元の勘定（ $R$ は長さの $- 2$ 乗）で符号と大きさを確かめる

例題

$c = 1$ 、計量の符号を $(-, +)$ とし、2 次元の時空 $d s^{2} = - d t^{2} + t^{2 p} d x^{2}$ （ $t > 0$ 、 $p$ は実定数）を考える。リーマンテンソルを $R^{ρ}_{σ μν} = \partial_{μ} Γ_{ν σ}^{ρ} - \partial_{ν} Γ_{μ σ}^{ρ} + Γ_{μ λ}^{ρ} Γ_{ν σ}^{λ} - Γ_{ν λ}^{ρ} Γ_{μ σ}^{λ}$ 、リッチテンソルを $R_{σ ν} = R^{ρ}_{σ ρ ν}$ 、リッチスカラーを $R = g^{σ ν} R_{σ ν}$ で定義するとき、 $R$ を $p$ と $t$ で表せ。

例題の解答

手順 1: $a (t) = t^{p}$ とおくと $g_{tt} = - 1$ 、 $g_{xx} = a^{2}$ 。ゼロでないクリストッフェル記号は $Γ_{xx}^{t} = a a ˙$ 、 $Γ_{t x}^{x} = Γ_{x t}^{x} = \frac{a ˙}{a}$ （ $a ˙ = d a / d t$ ）。

手順 2: $R_{xx}$ に必要なのは $R^{t}_{x t x}$ :
$R^{t}_{x t x} = \partial_{t} Γ_{xx}^{t} - \partial_{x} Γ_{t x}^{t} + Γ_{t λ}^{t} Γ_{xx}^{λ} - Γ_{x λ}^{t} Γ_{t x}^{λ} = (a ˙^{2} + a a ¨) - 0 + 0 - Γ_{xx}^{t} Γ_{t x}^{x} = a a ¨ .$
$R_{tt}$ に必要なのは $R^{x}_{t x t}$ :
$R^{x}_{t x t} = \partial_{x} Γ_{tt}^{x} - \partial_{t} Γ_{x t}^{x} + Γ_{x λ}^{x} Γ_{tt}^{λ} - Γ_{t λ}^{x} Γ_{x t}^{λ} = 0 - (\frac{a ¨}{a} - \frac{a ˙ ^{2}}{a ^{2}}) + 0 - \frac{a ˙ ^{2}}{a ^{2}} = - \frac{a ¨}{a} .$

手順 3: $R_{xx} = R^{t}_{x t x} = a a ¨$ 、 $R_{tt} = R^{x}_{t x t} = - \frac{a ¨}{a}$ （ $R_{t x} = 0$ ）。

手順 4: $R = g^{tt} R_{tt} + g^{xx} R_{xx} = (- 1) (- \frac{a ¨}{a}) + \frac{1}{a ^{2}} a a ¨ = \frac{2 a ¨}{a}$ 。 $a = t^{p}$ では $a ¨ = p (p - 1) t^{p - 2}$ なので $R = \frac{2 p ( p - 1 )}{t ^{2}}$ 。

手順 5: $p = 0$ （平らな時空）や $p = 1$ （ $- d t^{2} + t^{2} d x^{2}$ は平らな時空を座標変換したもの）で $R = 0$ となり妥当。また $a = e^{H t}$ なら同じ式 $R = 2 a ¨ / a = 2 H^{2} > 0$ となる。

答え: $\frac{2 p ( p - 1 )}{t ^{2}}$

よくある誤り

$ΓΓ$ の項で $λ$ の和を一部しか取らない誤り。例えば $R^{x}_{t x t}$ で $Γ_{t λ}^{x} Γ_{x t}^{λ}$ の $λ = x$ の項 $(\frac{a ˙}{a})^{2}$ を落とすと $R^{x}_{t x t} = - \frac{a ¨}{a} + \frac{a ˙ ^{2}}{a ^{2}}$ となってしまう。正しくは $- \frac{a ¨}{a}$
リッチテンソルを違う添字の組で縮約してしまう誤り。この流儀では $R_{σ ν} = R^{ρ}_{σ ρ ν}$ （1 番目と 3 番目）。1 番目と 4 番目で縮約すると $R^{ρ}_{σ ν ρ} = - R_{σ ν}$ と符号が逆になり、例えば $R = - \frac{2 a ¨}{a}$ という誤った値になる
リッチスカラーを $R = R_{tt} + R_{xx}$ のように逆計量なしで足してしまう誤り。正しくは $R = g^{tt} R_{tt} + g^{xx} R_{xx}$ で、 $(-, +)$ の流儀では $g^{tt} = - 1$ 、 $g^{xx} = a^{- 2}$ が掛かる
$\partial_{μ} Γ_{ν σ}^{ρ}$ の下添字の位置を取り違え、 $\partial_{μ} Γ_{μ σ}^{ρ}$ のように微分の添字と同じ添字の $Γ$ を微分してしまう誤り。例えば $R^{t}_{x t x}$ の第 1 項は $\partial_{t} Γ_{xx}^{t}$ （ $μ = t$ で微分し、 $Γ$ の下添字は $ν σ = xx$ ）であり、 $\partial_{t} Γ_{t x}^{t}$ ではない

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
自然単位系 $c = 1$ を用い、計量の符号の流儀は $(-, +)$ とする。座標 $(t, x)$ （ $t > 0$ ）をもつ 2 次元時空の計量が
$d s^{2} = - d t^{2} + t^{2 p} d x^{2}$
で与えられている。ここで $p$ は実数の定数である。リーマンテンソルを
$R^{ρ}_{σ μν} = \partial_{μ} Γ_{ν σ}^{ρ} - \partial_{ν} Γ_{μ σ}^{ρ} + Γ_{μ λ}^{ρ} Γ_{ν σ}^{λ} - Γ_{ν λ}^{ρ} Γ_{μ σ}^{λ}$
で定め、リッチテンソルを $R_{σ ν} = R^{μ}_{σ μν}$ 、リッチスカラーを $R = g^{σ ν} R_{σ ν}$ とする。ここで $Γ_{μν}^{ρ}$ はレビ・チビタ接続のクリストッフェル記号である。リッチスカラー $R$ を $p$ と $t$ で表せ。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

クレッチマン・スカラーと曲率の不変量（大学院物理一般相対論）
線形化重力と重力波の偏極（大学院物理一般相対論）