線形化重力と重力波の偏極

計量の符号を $(-,+,+,+)$、$x^0=ct$ とし、${\eta }_{\mu \nu }=\mathrm{diag}(-1,1,1,1)$ で添字を上げ下げします。$h_{\mu \nu }$ の 1 次だけを残すと、クリストッフェル記号は ${\Gamma }_{\mu \nu }^{\rho }=\frac{1}{2}{\eta }^{\rho \lambda }({\partial }_{\mu }{h}_{\lambda \nu }+{\partial }_{\nu }{h}_{\lambda \mu }-{\partial }_{\lambda }{h}_{\mu \nu })$ で、リーマンテンソルの定義 $R^{\rho }{}_{\sigma \mu \nu }={\partial }_{\mu }{\Gamma }_{\nu \sigma }^{\rho }-{\partial }_{\nu }{\Gamma }_{\mu \sigma }^{\rho }+\cdots$ のうち $\Gamma \Gamma$ の項は 2 次なので落ちます。添字を $\eta$ で下げて整理すると $$R_{\mu \nu \rho \sigma }=\frac{1}{2}\left({\partial }_{\nu }{\partial }_{\rho }{h}_{\mu \sigma }+{\partial }_{\mu }{\partial }_{\sigma }{h}_{\nu \rho }-{\partial }_{\mu }{\partial }_{\rho }{h}_{\nu \sigma }-{\partial }_{\nu }{\partial }_{\sigma }{h}_{\mu \rho }\right)$$ です。第 1 と第 3 の添字を ${\eta }^{\mu \rho }$ で縮約すると、トレース $h={\eta }^{\mu \nu }{h}_{\mu \nu }$、$\square ={\eta }^{\mu \nu }{\partial }_{\mu }{\partial }_{\nu }=-\frac{1}{c^2}{\partial }_t^2+{\nabla }^2$ を使って $$R_{\mu \nu }=\frac{1}{2}\left({\partial }^{\rho }{\partial }_{\mu }{h}_{\rho \nu }+{\partial }^{\rho }{\partial }_{\nu }{h}_{\rho \mu }-\square h_{\mu \nu }-{\partial }_{\mu }{\partial }_{\nu }h\right),R={\partial }^{\mu }{\partial }^{\nu }{h}_{\mu \nu }-\square h$$ となります。ここで「トレース反転」した量 ${\bar{h}}_{\mu \nu }=h_{\mu \nu }-\frac{1}{2}{\eta }_{\mu \nu }h$ を導入すると、$\bar{h}=-h$ より $h_{\mu \nu }={\bar{h}}_{\mu \nu }-\frac{1}{2}{\eta }_{\mu \nu }\bar{h}$ です。これを $G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-\frac{1}{2}{\eta }_{\mu \nu }R$ に代入すると、${\partial }_{\mu }{\partial }_{\nu }\bar{h}$ の項（係数 $-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}+1$）と ${\eta }_{\mu \nu }\square \bar{h}$ の項（係数 $\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-1$）が打ち消し合って $$G_{\mu \nu }=\frac{1}{2}\left({\partial }_{\mu }{\partial }^{\rho }{\bar{h}}_{\rho \nu }+{\partial }_{\nu }{\partial }^{\rho }{\bar{h}}_{\rho \mu }-\square {\bar{h}}_{\mu \nu }-{\eta }_{\mu \nu }{\partial }^{\rho }{\partial }^{\sigma }{\bar{h}}_{\rho \sigma }\right)$$ が残ります。条件 ${\partial }^{\mu }{\bar{h}}_{\mu \nu }=0$（ローレンツゲージ）を課すと $\square \bar{h}$ 以外の項はすべて消えて $G_{\mu \nu }=-\frac{1}{2}\square {\bar{h}}_{\mu \nu }$ となり、アインシュタイン方程式 $G_{\mu \nu }=\frac{8\pi G}{c^4}{T}_{\mu \nu }$ は $$\square {\bar{h}}_{\mu \nu }=-\frac{16\pi G}{c^4}{T}_{\mu \nu }$$ という、成分ごとに独立な波動方程式になります。

このゲージ条件が課せるのは、電磁ポテンシャルのゲージ変換と同じ仕組みによります。座標をわずかにずらす $x^{\mu }\to x^{\mu }+{\xi }^{\mu }$ では $h_{\mu \nu }\to h_{\mu \nu }-{\partial }_{\mu }{\xi }_{\nu }-{\partial }_{\nu }{\xi }_{\mu }$ と変わります。これを上の $R_{\mu \nu \rho \sigma }$ に代入すると、$\xi$ の 3 階微分の項は ${\partial }_{\nu }{\partial }_{\rho }{\partial }_{\mu }{\xi }_{\sigma }$ と ${\partial }_{\rho }{\partial }_{\mu }{\partial }_{\nu }{\xi }_{\sigma }$ のように偏微分の順序だけが違う組で逆符号に現れ、偏微分の可換性ですべて打ち消し合うので、1 次のリーマンテンソル（したがって物理）は変わりません。一方 $h\to h-2{\partial }^{\mu }{\xi }_{\mu }$ より ${\bar{h}}_{\mu \nu }\to {\bar{h}}_{\mu \nu }-{\partial }_{\mu }{\xi }_{\nu }-{\partial }_{\nu }{\xi }_{\mu }+{\eta }_{\mu \nu }{\partial }^{\rho }{\xi }_{\rho }$ で、${\partial }^{\mu }{\bar{h}}_{\mu \nu }\to {\partial }^{\mu }{\bar{h}}_{\mu \nu }-\square {\xi }_{\nu }$ となるので、$\square {\xi }_{\nu }={\partial }^{\mu }{\bar{h}}_{\mu \nu }$ を解く $\xi$ を選べばローレンツゲージにできます。ローレンツゲージの中でも、$\square {\xi }_{\nu }=0$ を満たす $\xi$ ならまだ自由に使えます。真空中で $z$ 方向に進む平面波 $h_{\mu \nu }=\mathrm{Re}\left[H_{\mu \nu }{e}^{i\omega (t-z/c)}\right]$ で、これを使って TT ゲージにしてみます。$K=\omega /c$ とおくと微分は ${\partial }_{\mu }\to i{k}_{\mu }$、$k_{\mu }=(K,0,0,-K)$、$k^{\mu }=(-K,0,0,-K)$ に置き換わり、$k^{\mu }{k}_{\mu }=0$ なので $\square h_{\mu \nu }=0$ が成り立ちます。ローレンツゲージ $k^{\mu }{\bar{H}}_{\mu \nu }=0$ は ${\bar{H}}_{z\nu }=-{\bar{H}}_{0\nu }$ です。残りのゲージ ${\xi }_{\mu }=\mathrm{Re}\left[X_{\mu }{e}^{i\omega (t-z/c)}\right]$（$k^{\mu }{k}_{\mu }=0$ なので自動的に $\square {\xi }_{\mu }=0$）による変化は $\delta H_{\mu \nu }=-i(k_{\mu }{X}_{\nu }+k_{\nu }{X}_{\mu })$ で、$$\delta H_{0x}=-iK{X}_x,\delta H_{0y}=-iK{X}_y,\delta H_{0z}=-iK(X_z-X_0),\delta H=-2i{k}^{\mu }{X}_{\mu }=2iK(X_0+X_z)$$ です。よって $X_x,X_y$ で $H_{0x}=H_{0y}=0$、$X_z-X_0$ で $H_{0z}=0$、$X_0+X_z$ でトレース $H=0$ にでき、4 つの $X_{\mu }$ で 4 条件 $h_{0i}=0$, $h=0$ を同時に満たせます。すると ${\bar{H}}_{\mu \nu }=H_{\mu \nu }$ で、ローレンツゲージ $H_{z\nu }=-H_{0\nu }$ から、$\nu =0$ で $H_{00}=-H_{z0}=0$、$\nu =x,y,z$ で $H_{zx}=H_{zy}=H_{zz}=0$ となり、$h_{0\mu }=0$ と $h_{z\mu }=0$（進行方向の成分がない＝横波、${\partial }^j{h}_{ij}={\partial }_z{h}_{iz}=0$）が従います。最後にトレースなしの条件 $H=H_{xx}+H_{yy}=0$ から $H_{yy}=-H_{xx}$ で、独立な成分は $H_{xx}\equiv h_{+}$ と $H_{xy}=H_{yx}\equiv h_{\times }$ の 2 つだけです。これが TT（transverse-traceless, 横波・トレースなし）ゲージで、$H_{\mu \nu }$ を実数にとれば $$h_{xx}=-h_{yy}=h_{+}\cos \omega (t-z/c),h_{xy}=h_{yx}=h_{\times }\cos \omega (t-z/c)$$ 以外の成分はすべて 0、すなわち $$d{s}^2=-c^{2}d{t}^2+(1+h_{+})d{x}^2+(1-h_{+})d{y}^2+2h_{\times }dxdy+d{z}^2$$（ここでの $h_{+},h_{\times }$ は位相因子込みの値）となります。

TT ゲージで静止していた自由粒子は、測地線の方程式で ${\Gamma }_{00}^i=\frac{1}{2}(2{\partial }_0{h}_{0i}-{\partial }_i{h}_{00})=0$ なので、波が来ても座標値 $x^i$ を変えません。変化するのは座標ではなく計量なので、伸び縮みは「固有距離」で見ます。$z=0$ 面上で原点から方向 $(\cos \theta ,\sin \theta )$、座標距離 $L$ の粒子までの固有距離は、空間部分の計量から $L^2({\delta }_{ij}+h_{ij})n^i{n}^j=L^2(1+h_{+}\cos 2\theta +h_{\times }\sin 2\theta )$ の平方根で（${\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta =\cos 2\theta$, $2\sin \theta \cos \theta =\sin 2\theta$）、1 次まで展開して $$\frac{\delta L}{L}=\frac{1}{2}\left(h_{+}\cos 2\theta +h_{\times }\sin 2\theta \right)$$ です。$+$ 偏極は $x$ 軸・$y$ 軸方向を逆位相で伸縮させ、$\times$ 偏極はそれを $45^{\circ }$（$\pi /4$）回したパターンになります。