一般相対論の問題

自然単位系 $c=1$ を用い、計量の符号の流儀は $(-,+)$ とする。座標 $(t,x)$ をもつ 2 次元時空の計量が
$$d{s}^2=-e^{2kx}d{t}^2+d{x}^2$$
で与えられている。ここで $k$ は正の定数である。

質量をもつ粒子が、ある時刻に $x=0$ で $\frac{dx}{d\tau }=0$ となっており、その後は時間的測地線に沿って運動する（$\tau$ は固有時、$u^{\mu }=\frac{d{x}^{\mu }}{d\tau }$）。粒子が $x=-L$（$L>0$ は定数）に達したときの $\left|\frac{dx}{d\tau }\right|$ を $k$ と $L$ で表せ。

自然単位系 $c=1$ を用い、計量の符号の流儀は $(-,+)$ とする。座標 $(t,x)$（$t>0$）をもつ 2 次元時空の計量が
$$d{s}^2=-d{t}^2+t^{2p}d{x}^2$$
で与えられている。ここで $p$ は実数の定数である。リーマンテンソルを
$$R^{\rho }{}_{\sigma \mu \nu }={\partial }_{\mu }{\Gamma }_{\nu \sigma }^{\rho }-{\partial }_{\nu }{\Gamma }_{\mu \sigma }^{\rho }+{\Gamma }_{\mu \lambda }^{\rho }{\Gamma }_{\nu \sigma }^{\lambda }-{\Gamma }_{\nu \lambda }^{\rho }{\Gamma }_{\mu \sigma }^{\lambda }$$
で定め、リッチテンソルを $R_{\sigma \nu }=R^{\mu }{}_{\sigma \mu \nu }$、リッチスカラーを $R=g^{\sigma \nu }{R}_{\sigma \nu }$ とする。ここで ${\Gamma }_{\mu \nu }^{\rho }$ はレビ・チビタ接続のクリストッフェル記号である。リッチスカラー $R$ を $p$ と $t$ で表せ。

自然単位系 $c=1$ を用い、計量の符号の流儀は $(-,+)$ とする。座標 $(x^0,x^1)=(t,x)$ をもつ 2 次元時空の計量が
$$d{s}^2=-d{t}^2+e^{2Ht}d{x}^2$$
で与えられている。ここで $H$ は正の定数である。レビ・チビタ接続のクリストッフェル記号
$${\Gamma }_{\mu \nu }^{\rho }=\frac{1}{2}{g}^{\rho \sigma }\left({\partial }_{\mu }{g}_{\sigma \nu }+{\partial }_{\nu }{g}_{\sigma \mu }-{\partial }_{\sigma }{g}_{\mu \nu }\right)$$
のうち、成分 ${\Gamma }_{xx}^t$ を $t$ と $H$ で表せ。

質量 $m$ の 2 つの質点が、長さ $2d$ の質量の無視できる棒の両端に固定されている。棒の中点を原点とし、棒は $xy$ 平面内で $z$ 軸のまわりを一定の角速度 $\omega$ で回転している。時刻 $t$ における 2 つの質点の位置は
$${\mathbf{x}}_{\pm }(t)=\pm d(\cos \omega t,\sin \omega t,0)$$
である。運動はニュートン力学的（$d\omega \ll c$）とし、重力波の放射率（単位時間に放射されるエネルギー）は四重極公式
$$P=\frac{G}{5c^5}⟨{\stackrel{...}{Q}}_{ij}{\stackrel{...}{Q}}_{ij}⟩,Q_{ij}=\sum _{\text{質点}}m\left(x_i{x}_j-\frac{1}{3}{\delta }_{ij}{r}^2\right)$$
で与えられるとする。ここで $G$ は万有引力定数、$c$ は光速、$⟨⟩$ は 1 周期についての時間平均を表し、$i,j$ については $1$ から $3$ まで和をとる。放射の反作用による回転の変化は無視する。このときの放射率 $P$ を $G,c,m,d,\omega$ を用いて表せ。

単位系 $G=c=1$ を用い、計量の符号の流儀は $(-,+,+,+)$ とする。質量 $M$（$M>0$）の天体の外側の時空がシュワルツシルト計量
$$d{s}^2=-\left(1-\frac{2M}{r}\right)d{t}^2+{\left(1-\frac{2M}{r}\right)}^{-1}d{r}^2+r^2\left(d{\theta }^2+{\sin }^2\theta d{\varphi }^2\right)$$
で表されるとする。半径 $r=4M$ に静止した（$r,\theta ,\varphi$ が一定の）観測者 A が、自分の固有時で測って振動数 ${\nu }_A$ の光を放射状に外向きに送り出し、半径 $r=9M$ に静止した観測者 B がこれを受け取る。B が自分の固有時で測る振動数を ${\nu }_B$ とするとき、比 $\frac{{\nu }_B}{{\nu }_A}$ を求めよ。答えは分母を有理化した根号の形で書け。