この問題は、利用者からの報告を受けて確認中です。答えや解説に誤りがあるかもしれません。

一般相対論の問題

難易度 1大学院の講義の例題レベル大学院物理一般相対論

質量 $m$ の 2 つの質点が、長さ $2 d$ の質量の無視できる棒の両端に固定されている。棒の中点を原点とし、棒は $x y$ 平面内で $z$ 軸のまわりを一定の角速度 $ω$ で回転している。時刻 $t$ における 2 つの質点の位置は
$x_{\pm} (t) = \pm d (cos ω t, sin ω t, 0)$
である。運動はニュートン力学的（ $d ω ≪ c$ ）とし、重力波の放射率（単位時間に放射されるエネルギー）は四重極公式
$P = \frac{G}{5 c ^{5}} ⟨ Q ..._{ij} Q ..._{ij} ⟩, Q_{ij} = 質点 \sum m (x_{i} x_{j} - \frac{1}{3} δ_{ij} r^{2})$
で与えられるとする。ここで $G$ は万有引力定数、 $c$ は光速、 $⟨ ⟩$ は 1 周期についての時間平均を表し、 $i, j$ については $1$ から $3$ まで和をとる。放射の反作用による回転の変化は無視する。このときの放射率 $P$ を $G, c, m, d, ω$ を用いて表せ。

この問題で使うもの

四重極公式による重力波の放射率（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（187 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの問題で使う技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

四重極公式による重力波の放射率の技能を使う。まず各質点の座標から換算四重極モーメント $Q_{ij}$ を時刻 $t$ の関数として書く。

ヒント 2

2 倍角の公式を使うと、時間変化する部分は $Q_{xx} = - Q_{y y} = m d^{2} cos 2 ω t$ 、 $Q_{x y} = m d^{2} sin 2 ω t$ となる。振動の角振動数は $2 ω$ であることに注意する。

ヒント 3

3 階微分は $Q ..._{xx} = 8 m d^{2} ω^{3} sin 2 ω t$ 、 $Q ..._{x y} = - 8 m d^{2} ω^{3} cos 2 ω t$ 。和 $Q ..._{xx}^{2} + Q ..._{y y}^{2} + 2 Q ..._{x y}^{2}$ をつくると $sin^{2} + cos^{2} = 1$ で時間によらなくなる。

答えと解説

答えを見る

\frac{128 G m ^{2} d ^{4} ω ^{6}}{5 c ^{5}}

結果を記録する（このブラウザにだけ保存されます）:

解説を読む

1. 換算四重極モーメントを時間の関数として書く。

2 つの質点はどちらも $r^{2} = d^{2}$ で、 $x_{i} x_{j}$ の値も 2 つの質点で等しい（符号が両方反転するため）。したがって
$Q_{xx} = 2 m (d^{2} cos^{2} ω t - \frac{d ^{2}}{3}), Q_{y y} = 2 m (d^{2} sin^{2} ω t - \frac{d ^{2}}{3}), Q_{x y} = 2 m d^{2} cos ω t sin ω t,$
$Q_{z z} = - \frac{2 m d ^{2}}{3}, Q_{x z} = Q_{y z} = 0.$
2 倍角の公式 $cos^{2} ω t = \frac{1 + c o s 2 ω t}{2}$ 、 $sin^{2} ω t = \frac{1 - c o s 2 ω t}{2}$ 、 $2 sin ω t cos ω t = sin 2 ω t$ を使うと
$Q_{xx} = m d^{2} cos 2 ω t + (定数), Q_{y y} = - m d^{2} cos 2 ω t + (定数), Q_{x y} = m d^{2} sin 2 ω t .$
定数部分は時間微分で消えるので、放射には寄与しない。

2. 3 階時間微分を計算する。

$\frac{d}{d t} cos 2 ω t = - 2 ω sin 2 ω t$ , $\frac{d ^{2}}{d t ^{2}} cos 2 ω t = - 4 ω^{2} cos 2 ω t$ , $\frac{d ^{3}}{d t ^{3}} cos 2 ω t = 8 ω^{3} sin 2 ω t$ 、同様に $\frac{d ^{3}}{d t ^{3}} sin 2 ω t = - 8 ω^{3} cos 2 ω t$ より
$Q ..._{xx} = 8 m d^{2} ω^{3} sin 2 ω t, Q ..._{y y} = - 8 m d^{2} ω^{3} sin 2 ω t, Q ..._{x y} = Q ..._{y x} = - 8 m d^{2} ω^{3} cos 2 ω t,$
ほかの成分の 3 階微分は $0$ 。

3. 和をとる。

$Q ..._{ij} Q ..._{ij} = Q ..._{xx}^{2} + Q ..._{y y}^{2} + 2 Q ..._{x y}^{2} = 64 m^{2} d^{4} ω^{6} (2 sin^{2} 2 ω t + 2 cos^{2} 2 ω t) = 128 m^{2} d^{4} ω^{6} .$
これは時間によらないので、時間平均しても同じ値である。

4. 四重極公式に代入する。
$P = \frac{G}{5 c ^{5}} \cdot 128 m^{2} d^{4} ω^{6} = \frac{128 G m ^{2} d ^{4} ω ^{6}}{5 c ^{5}} .$

（確認: 換算質量 $μ = \frac{m}{2}$ 、質点間距離 $a = 2 d$ の円軌道連星の公式 $\frac{32 G}{5 c ^{5}} μ^{2} a^{4} ω^{6} = \frac{32 G}{5 c ^{5}} \cdot \frac{m ^{2}}{4} \cdot 16 d^{4} ω^{6}$ と一致する。）

別解

2 つの質点は $\pm x$ なので $Q_{ij} = 2 m d^{2} (n_{i} n_{j} - \frac{1}{3} δ_{ij})$ 、 $n = (cos ω t, sin ω t, 0)$ 。
$n_{x} n_{x} = \frac{1 + c o s 2 ω t}{2}$ 、 $n_{y} n_{y} = \frac{1 - c o s 2 ω t}{2}$ 、 $n_{x} n_{y} = \frac{s i n 2 ω t}{2}$ より、時間変化する部分は $Q_{ij} \supset m d^{2} (cos 2 ω t sin 2 ω t sin 2 ω t - cos 2 ω t)$ （定数部分は微分で消える）。
3 階微分は $Q ..._{ij} = m d^{2} (2 ω)^{3} (sin 2 ω t - cos 2 ω t - cos 2 ω t - sin 2 ω t)$ 。
$Q ..._{ij} Q ..._{ij} = m^{2} d^{4} \cdot 64 ω^{6} (2 sin^{2} + 2 cos^{2}) = 128 m^{2} d^{4} ω^{6}$ （時間によらない）。
$P = \frac{G}{5 c ^{5}} \cdot 128 m^{2} d^{4} ω^{6} = \frac{128 G m ^{2} d ^{4} ω ^{6}}{5 c ^{5}}$ 。
検算: 連星の公式 $P = \frac{32}{5} \frac{G μ ^{2} a ^{4} ω ^{6}}{c ^{5}}$ に換算質量 $μ = m /2$ 、距離 $a = 2 d$ を代入すると $\frac{32}{5} \cdot \frac{m ^{2}}{4} \cdot 16 d^{4} = \frac{128}{5} m^{2} d^{4}$ で一致。

一般相対論の問題

この問題で使うもの

ヒント

答えと解説

次のおすすめ

この問題の確認

間違いを報告する

関連する問題