一般相対論の問題

単位系 $G=c=1$ を用い、計量の符号の流儀は $(-,+,+,+)$ とする。質量 $M$（$M>0$）のシュワルツシルト時空
$$d{s}^2=-\left(1-\frac{2M}{r}\right)d{t}^2+{\left(1-\frac{2M}{r}\right)}^{-1}d{r}^2+r^2\left(d{\theta }^2+{\sin }^2\theta d{\varphi }^2\right)$$
の赤道面 $\theta =\frac{\pi }{2}$ 上を、質量をもつ粒子が時間的測地線に沿って運動している。固有時を $\tau$、$\dot{}=\frac{d}{d\tau }$ とし、保存量 $\tilde{E}=\left(1-\frac{2M}{r}\right)\dot{t}$, $\tilde{L}=r^2\dot{\varphi }$ を用いると、動径方程式は
$${\dot{r}}^2={\tilde{E}}^2-V(r),V(r)=\left(1-\frac{2M}{r}\right)\left(1+\frac{{\tilde{L}}^2}{r^2}\right)$$
となる。

粒子の軌道は半径 $r_0=8M$ の円軌道からわずかにずれており、$r$ は $r_0$ のまわりで微小な振動をしている。$r$ が最小になる点（近点）を通過してから次に近点を通過するまでの間に、方位角 $\varphi$ が増える量 $\Delta \varphi$ を、動径振動の振幅についての最低次の近似で求めよ。

単位系 $G=c=1$ を用い、計量の符号の流儀は $(-,+,+,+)$ とする。質量 $M$（$M>0$）の天体の外側の時空がシュワルツシルト計量
$$d{s}^2=-\left(1-\frac{2M}{r}\right)d{t}^2+{\left(1-\frac{2M}{r}\right)}^{-1}d{r}^2+r^2\left(d{\theta }^2+{\sin }^2\theta d{\varphi }^2\right)$$
で表されるとする。半径 $r=4M$ に静止した（$r,\theta ,\varphi$ が一定の）観測者 A が、自分の固有時で測って振動数 ${\nu }_A$ の光を放射状に外向きに送り出し、半径 $r=9M$ に静止した観測者 B がこれを受け取る。B が自分の固有時で測る振動数を ${\nu }_B$ とするとき、比 $\frac{{\nu }_B}{{\nu }_A}$ を求めよ。答えは分母を有理化した根号の形で書け。

単位系 $G=c=1$ を用い、計量の符号の流儀は $(-,+,+,+)$ とする。質量 $M$（$M>0$）のシュワルツシルト時空
$$d{s}^2=-\left(1-\frac{2M}{r}\right)d{t}^2+{\left(1-\frac{2M}{r}\right)}^{-1}d{r}^2+r^2\left(d{\theta }^2+{\sin }^2\theta d{\varphi }^2\right)$$
の赤道面 $\theta =\frac{\pi }{2}$ 上を光が進む。アフィン・パラメータを $\lambda$ とし、保存量を $E=\left(1-\frac{2M}{r}\right)\frac{dt}{d\lambda }$, $L=r^2\frac{d\varphi }{d\lambda }$、衝突径数を $b=\frac{L}{E}$ とする。

無限遠から衝突径数 $b=4\sqrt{2}M$ で入射した光が、ブラックホールに最も近づくときの半径 $r_{\min }$ を $M$ で表せ。

自然単位系 $G=c=\hslash =k_B=1$ を用い、計量の符号は $(-,+,+,+)$ とする。質量 $M>0$ のシュワルツシルト・ブラックホール
$$d{s}^2=-f(r)d{t}^2+\frac{d{r}^2}{f(r)}+r^2\left(d{\theta }^2+{\sin }^2\theta d{\varphi }^2\right),f(r)=1-\frac{2M}{r}$$
を考える。ホーキング温度は表面重力 $\kappa$ を用いて $T=\frac{\kappa }{2\pi }$ で与えられ、表面重力は $\kappa =\frac{1}{2}{f}^{\prime }(r_{+})$（$r_{+}$ は事象の地平面の半径）で計算できるとする。このブラックホールの熱容量 $C=\frac{dM}{dT}$ を $M$ を用いて表せ。

質量 $M$ のシュワルツシルト時空を考える。$G=c=1$ の単位系を用い、計量の符号は $(-,+,+,+)$ とする。線素は
$$d{s}^2=-\left(1-\frac{2M}{r}\right)d{t}^2+{\left(1-\frac{2M}{r}\right)}^{-1}d{r}^2+r^2\left(d{\theta }^2+{\sin }^2\theta d{\varphi }^2\right)$$
である。赤道面 $\theta =\pi /2$ 内を運動する質点（静止質量 $m$、$m\ll M$ で時空への反作用は無視する）の時間的測地線を考え、固有時を $\tau$、4 元速度を $u^{\mu }=d{x}^{\mu }/d\tau$ として、保存量 $\tilde{E}=-u_t$（単位静止質量あたりのエネルギー）と $\tilde{L}=u_{\varphi }$（単位静止質量あたりの角運動量）を定める。

半径 $r_0$ の安定な円軌道から、$\tilde{L}$ を変えずにわずかに半径方向へずらした、離心率が十分小さい軌道（円軌道まわりの線形摂動で記述できる軌道）を考える。この軌道は、半径方向にちょうど $2$ 回振動する間に $\varphi$ がちょうど $3\times 2\pi$ だけ増加して閉じるという。このときの円軌道（半径 $r_0$）の $\tilde{E}$ の値を、根号を含む正確な形で求めよ。