キリングベクトルと測地線の保存量

計量が座標 $x^{α}$ によらないときのキリングベクトル $ξ = \partial_{α}$ から保存量 $ξ_{μ} u^{μ} = g_{α μ} u^{μ}$ （静的時空のエネルギー $E ~ = - u_{t}$ 、角運動量 $L ~ = u_{ϕ}$ 、膨張宇宙の共動運動量 $e^{2 H t} x ˙$ など）を書き、規格化条件 $g_{μν} u^{μ} u^{ν} = - 1$ （または $0$ ）と合わせて測地線の速度や到達点を求められる

前提

時空の計量とクリストッフェル記号（大学院物理一般相対論）

この技能までの道筋（94 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

三角形の角の大きさ（算数平面図形）
対頂角と平行線の同位角・錯角（中学数学平面図形）
三角形の外角と角の組み合わせ（中学数学平面図形）
小数の四則計算（算数計算と数のきまり）
分数のたし算・ひき算（算数計算と数のきまり）
分数のかけ算・わり算（算数計算と数のきまり）
小数と分数のまじった計算（算数計算と数のきまり）
逆算（□ を求める）（算数計算と数のきまり）
正負の数の加法・減法（中学数学数と式）
四則の混じった計算の順序（算数計算と数のきまり）
正負の数の乗除・累乗と四則混合（中学数学数と式）
分配法則を使った計算のくふう（算数計算と数のきまり）
文字式の計算（同類項・分配法則）（中学数学数と式）
1 次方程式の解き方（中学数学方程式）
二等辺三角形の角（中学数学平面図形）
平行四辺形と特別な四角形の性質（中学数学平面図形）
三角形・四角形の面積（算数平面図形）
約数の見つけ方（算数整数の性質）
素因数分解と約数の個数（算数整数の性質）
平方根の意味と根号の簡単化（中学数学数と式）
三平方の定理（中学数学相似と三平方の定理）
乗法公式による展開（中学数学数と式）
折り返した図形の角と長さ（中学数学平面図形）
三平方の定理と平面図形（中学数学相似と三平方の定理）
ベクトルの演算と成分（数学C ベクトル）
特別な直角三角形の辺の比（中学数学相似と三平方の定理）
最大公約数と最小公倍数（算数整数の性質）
比の性質と簡単な比（算数割合と比）
相似な三角形と長さの比（算数平面図形）
三角形の相似条件と対応する辺の長さ（中学数学相似と三平方の定理）
三角比の定義と値（数学I 図形と計量）
内積となす角（数学C ベクトル）
位置ベクトルと内分点・外分点（数学C ベクトル）
交点の位置ベクトル（数学C ベクトル）
空間ベクトルと直線・平面（数学C ベクトル）
行列の和・積と 2 次の逆行列（大学数学線形代数）
樹形図で数え上げる（算数場合の数）
積の法則と和の法則（算数場合の数）
和の法則・積の法則と樹形図（数学A 場合の数と確率）
順列・円順列・重複順列（数学A 場合の数と確率）
行列式（大学数学線形代数）
空間ベクトルの外積（大学数学ベクトル解析）
因数分解（中学数学数と式）
3 次式までの展開と因数分解（数学I 数と式）
微分係数と導関数の定義（数学II 微分法と積分法）
多項式の微分（数学II 微分法と積分法）
多項式の不定積分（数学II 微分法と積分法）
等間隔にならんだ数の和（算数計算と数のきまり）
等差・等比数列の和と Σ （数学B 数列）
数列の極限（数学III 極限）
関数の極限（数学III 極限）
積と商の微分（数学III 微分法）
合成関数の微分（数学III 微分法）
円の周の長さと面積（算数平面図形）
おうぎ形の弧の長さと面積（算数平面図形）
弧の長さからおうぎ形の中心角と面積を求める（中学数学平面図形）
弧度法と単位円による三角関数（数学II 三角関数）
$sin x / x$ の極限（数学III 極限）
加法定理と 2 倍角・半角・積和の公式（数学II 三角関数）
三角関数の導関数（数学III 微分法）
根号の乗除と加減（中学数学数と式）
指数の拡張と指数関数（数学II 指数関数と対数関数）
対数の定義と性質（数学II 指数関数と対数関数）
自然対数の底 $e$ （数学III 極限）
指数関数・対数関数の導関数（数学III 微分法）
基本的な関数の不定積分（数学III 積分法）
置換積分（数学III 積分法）
部分積分（数学III 積分法）
定積分の計算（数学II 微分法と積分法）
定積分の置換・部分積分と偶関数・奇関数（数学III 積分法）
逆関数・陰関数・媒介変数表示の微分（数学III 微分法）
曲線の長さ（数学III 積分法）
広義積分（大学数学微分積分）
空間曲線の曲率とねじれ率（大学院数学微分幾何）
重積分と累次積分（大学数学微分積分）
偏微分と全微分（大学数学微分積分）
多変数の連鎖律（大学数学微分積分）
重積分の変数変換とヤコビアン（大学数学微分積分）
曲面の媒介変数表示と面積要素（大学数学ベクトル解析）
第一基本形式とリーマン計量（大学院数学微分幾何）
第二基本形式と法曲率（大学院数学微分幾何）
曲面上の曲線の測地的曲率（大学院数学微分幾何）
クリストッフェル記号と測地線の方程式（大学院数学微分幾何）
速さと平均の速さ（中学理科運動とエネルギー）
記録タイマーの打点と速さ（中学理科運動とエネルギー）
斜面の運動と等速直線運動（中学理科運動とエネルギー）
変位・速度・加速度（直線運動）（高校物理運動の表し方）
速度の合成と分解（高校物理運動の表し方）
相対速度（高校物理運動の表し方）
分母の有理化（中学数学数と式）
乗法公式・分配法則を使う根号の式の展開（中学数学数と式）
根号を含む式の計算と分母の有理化（数学I 数と式）
ローレンツ変換（大学物理特殊相対論）
時空の計量とクリストッフェル記号（大学院物理一般相対論）

説明

測地線の方程式は 2 階の連立微分方程式で、そのまま解くのは大変です。しかし計量がある座標 $x^{α}$ を含まないとき、その方向に時空が対称で（その方向のベクトル $ξ = \partial_{α}$ をキリングベクトルといいます）、測地線に沿って $g_{α μ} u^{μ}$ が一定に保たれます。静的な時空ではエネルギー、軸対称な時空では角運動量、空間的に一様な膨張宇宙では共動運動量がこの保存量にあたります。この技能では、保存量と規格化条件 $g_{μν} u^{μ} u^{ν} = - 1$ （光なら $0$ ）を組み合わせて、微分方程式を 1 階に落とし、粒子や光の速さや到達点を求めます。

なぜそうしてよいのか

以下、計量の符号を $(-, +, +, +)$ 、 $c = 1$ とし、質量のある粒子では固有時 $τ$ 、光ではアフィン・パラメータ $λ$ で微分して 4 元速度 $u^{μ} = d x^{μ} / d τ$ （光では $x ˙^{μ} = d x^{μ} / d λ$ ）をつくります。前提の技能で見たように、測地線は $L = g_{μν} (x) x ˙^{μ} x ˙^{ν}$ のオイラー・ラグランジュ方程式
$\frac{d}{d τ} \frac{\partial L}{\partial x ˙ ^{α}} = \frac{\partial L}{\partial x ^{α}} = \partial_{α} g_{μν} x ˙^{μ} x ˙^{ν}$
に従います。計量の成分がどれも $x^{α}$ を含まなければ右辺は $0$ なので、 $\frac{\partial L}{\partial x ˙ ^{α}} = 2 g_{α ν} x ˙^{ν}$ は一定です。これは解析力学の「循環座標に共役な運動量は保存する」と同じ仕組みです。ベクトル $ξ = \partial_{α}$ （成分 $ξ^{μ} = δ_{α}^{μ}$ ）を使えば、保存量は $ξ_{μ} u^{μ} = g_{μν} ξ^{μ} u^{ν} = g_{α ν} u^{ν} = u_{α}$ と書けます。 $x^{α}$ をずらしても計量が変わらない、という対称性がキリングベクトル $ξ$ の意味です。

代表的な例を挙げます。シュヴァルツシルト時空 $d s^{2} = - (1 - \frac{2 M}{r}) d t^{2} + \frac{d r ^{2}}{1 - 2 M / r} + r^{2} (d θ^{2} + sin^{2} θ d ϕ^{2})$ （ $G = 1$ ）は $t$ と $ϕ$ を含まないので、 $E ~ = - u_{t} = (1 - \frac{2 M}{r}) \frac{d t}{d τ}$ と $L ~ = u_{ϕ} = r^{2} sin^{2} θ \frac{d ϕ}{d τ}$ が保存します（ $-$ を付けるのは、平らな時空で $E ~ = d t / d τ = γ > 0$ となるようにするため）。膨張宇宙 $d s^{2} = - d t^{2} + e^{2 H t} (d x^{2} + d y^{2} + d z^{2})$ は $x$ を含まないので $u_{x} = e^{2 H t} \frac{d x}{d τ}$ が保存します。一方 $t$ は含むので、エネルギーは保存しません。

保存量だけでは未知数が 1 つ残りますが、4 元速度の規格化 $g_{μν} u^{μ} u^{ν} = - 1$ （質量のある粒子。 $d τ^{2} = - d s^{2}$ から）または $0$ （光）がもう 1 本の式になります。保存量で $u^{α}$ を他の量で表し、規格化条件に代入すれば、残りの成分（例えば $u^{t}$ ）が位置の関数として決まり、 $\frac{d x}{d t} = \frac{u ^{x}}{u ^{t}}$ を積分すれば軌道や到達点がわかります。

手順

計量を見て、どの座標を含まないかを調べ、対応するキリングベクトル $ξ = \partial_{α}$ を挙げる
保存量 $u_{α} = g_{α ν} u^{ν}$ を書き、初期条件から値を決める（静的なら $E ~ = - u_{t}$ 、軸対称なら $L ~ = u_{ϕ}$ など）
保存量を使って $u^{α}$ を位置の関数で表す（例: $u^{x} = u_{x} / g_{xx}$ ）
規格化条件 $g_{μν} u^{μ} u^{ν} = - 1$ （光なら $0$ ）に代入し、残りの成分（例えば $u^{t}$ ）を求める
必要なら $\frac{d x}{d t} = \frac{u ^{x}}{u ^{t}}$ などを積分して、速さや到達点を求める

例題

$c = 1$ 、計量の符号を $(-, +)$ とし、2 次元の膨張宇宙 $d s^{2} = - d t^{2} + e^{2 H t} d x^{2}$ （ $H > 0$ は定数）を考える。質量のある自由粒子が $t = 0$ に $x = 0$ を出発し、そのときの 4 元速度の $x$ 成分が $\frac{d x}{d τ} = u_{0}$ （ $u_{0} > 0$ は定数、 $τ$ は固有時）であった。粒子が測地線に沿って運動するとき、 $t \to \infty$ での粒子の座標 $x$ の極限値を $H$ と $u_{0}$ で表せ。

例題の解答

手順 1: 計量は $x$ を含まないので、 $ξ = \partial_{x}$ がキリングベクトル。

手順 2: 保存量は $u_{x} = g_{xx} u^{x} = e^{2 H t} \frac{d x}{d τ}$ 。 $t = 0$ の値から $u_{x} = u_{0}$ 。

手順 3: $\frac{d x}{d τ} = u_{0} e^{- 2 H t}$ 。

手順 4: 規格化条件 $- (\frac{d t}{d τ})^{2} + e^{2 H t} (\frac{d x}{d τ})^{2} = - 1$ に代入して $\frac{d t}{d τ} = 1 + u_{0}^{2} e^{- 2 H t}$ （未来向きなので正の根）。

手順 5: $\frac{d x}{d t} = \frac{u _{0} e ^{- 2 H t}}{1 + u _{0}^{2} e ^{- 2 H t}}$ 。 $w = u_{0} e^{- H t}$ と置換すると $d w = - H w d t$ 、 $u_{0} e^{- 2 H t} = w^{2} / u_{0}$ で、 $t : 0 \to \infty$ は $w : u_{0} \to 0$ に対応するので
$x (\infty) = \int_{0}^{\infty} \frac{u _{0} e ^{- 2 H t}}{1 + u _{0}^{2} e ^{- 2 H t}} d t = \frac{1}{H u _{0}} \int_{0}^{u_{0}} \frac{w}{1 + w ^{2}} d w = \frac{1 + u _{0}^{2} - 1}{H u _{0}} .$
$u_{0} \to \infty$ （光の極限）で $1/ H$ に近づき、光が到達できる共動距離と一致する。

答え: $\frac{1 + u _{0}^{2} - 1}{H u _{0}}$

よくある誤り

保存量を座標時間の微分で書いてしまう誤り。例えば膨張宇宙で $e^{2 H t} \frac{d x}{d t}$ を一定とするのは誤り。保存するのは、質量のある粒子では $e^{2 H t} \frac{d x}{d τ}$ 、光ではアフィン・パラメータ $λ$ について $e^{2 H t} \frac{d x}{d λ}$ で、どちらも座標時間 $t$ での微分 $e^{2 H t} \frac{d x}{d t}$ は保存しない。 $\frac{d x}{d t} = \frac{d x / d τ}{d t / d τ}$ には時間とともに変わる $d t / d τ$ が入り、光でも $\frac{d x}{d t} = e^{- H t}$ なので $e^{2 H t} \frac{d x}{d t} = e^{H t}$ は一定でない
添字の上下を区別しない誤り。保存するのは下付きの $u_{α} = g_{α ν} u^{ν}$ で、上付きの $u^{α}$ ではない。シュヴァルツシルト時空では $\frac{d t}{d τ}$ ではなく $(1 - \frac{2 M}{r}) \frac{d t}{d τ}$ 、 $\frac{d ϕ}{d τ}$ ではなく $r^{2} sin^{2} θ \frac{d ϕ}{d τ}$ が保存する
エネルギーの符号を取り違えて $E ~ = u_{t}$ としてしまう誤り。 $(-, +, +, +)$ の流儀では $u_{t} = g_{tt} u^{t} < 0$ なので、正の量にするには $E ~ = - u_{t}$ 。平らな時空では $E ~ = γ$ になる
規格化条件を光にも $- 1$ で使う、または質量のある粒子に $0$ で使う誤り。質量のある粒子は $g_{μν} u^{μ} u^{ν} = - 1$ 、光は $g_{μν} x ˙^{μ} x ˙^{ν} = 0$ 。例えば上の例を光で解くと $\frac{d x}{d t} = e^{- H t}$ で到達点は $\frac{1}{H}$ になる

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
自然単位系 $c = 1$ を用い、計量の符号の流儀は $(-, +)$ とする。座標 $(t, x)$ をもつ 2 次元時空の計量が
$d s^{2} = - e^{2 k x} d t^{2} + d x^{2}$
で与えられている。ここで $k$ は正の定数である。
質量をもつ粒子が、ある時刻に $x = 0$ で $\frac{d x}{d τ} = 0$ となっており、その後は時間的測地線に沿って運動する（ $τ$ は固有時、 $u^{μ} = \frac{d x ^{μ}}{d τ}$ ）。粒子が $x = - L$ （ $L > 0$ は定数）に達したときの $\frac{d x}{d τ}$ を $k$ と $L$ で表せ。

この技能を使う問題

難易度 2（大学院の講義の演習問題レベル）
$c = 1$ の単位系を用い、計量の符号は $(-, +)$ とする。 $1 + 1$ 次元のド・ジッター時空を平坦スライスで表した計量
$d s^{2} = - d t^{2} + e^{2 H t} d x^{2} (H > 0 は定数)$
を考える。質量をもつ自由粒子が時間的測地線に沿って運動している。この粒子は時刻 $t = 0$ に $x = 0$ を通過する。そのとき、その場所で静止している共動観測者（ $x$ 一定の観測者）が測った粒子の速さは $v$ （ $0 < v < 1$ ）で、向きは $+ x$ 方向である。
この時空がもつキリングベクトルを用いて、 $t \to \infty$ における粒子の共動座標の極限値 $x_{\infty} = t \to \infty lim x (t)$ を $v, H$ で表せ。

この技能の次に学べること

固有時と重力赤方偏移（大学院物理一般相対論）
シュワルツシルト時空の有効ポテンシャルと円軌道（大学院物理一般相対論）