固有時と重力赤方偏移

$d τ^{2} = - g_{μν} d x^{μ} d x^{ν}$ から静止観測者や円軌道上の時計の固有時の進み方（例: $\frac{d τ}{d t} = 1 - \frac{3 M}{r}$ ）を求め、静的時空で保存量 $- p_{t}$ を使って観測者ごとに測る振動数の比 $\frac{ν _{\infty}}{ν _{r}} = - g_{tt} (r)$ や、運動する観測者が測る速さ・エネルギーを求められる

前提

キリングベクトルと測地線の保存量（大学院物理一般相対論）
時間の遅れと固有時（大学物理特殊相対論）

この技能までの道筋（96 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

三角形の角の大きさ（算数平面図形）
対頂角と平行線の同位角・錯角（中学数学平面図形）
三角形の外角と角の組み合わせ（中学数学平面図形）
小数の四則計算（算数計算と数のきまり）
分数のたし算・ひき算（算数計算と数のきまり）
分数のかけ算・わり算（算数計算と数のきまり）
小数と分数のまじった計算（算数計算と数のきまり）
逆算（□ を求める）（算数計算と数のきまり）
正負の数の加法・減法（中学数学数と式）
四則の混じった計算の順序（算数計算と数のきまり）
正負の数の乗除・累乗と四則混合（中学数学数と式）
分配法則を使った計算のくふう（算数計算と数のきまり）
文字式の計算（同類項・分配法則）（中学数学数と式）
1 次方程式の解き方（中学数学方程式）
二等辺三角形の角（中学数学平面図形）
平行四辺形と特別な四角形の性質（中学数学平面図形）
三角形・四角形の面積（算数平面図形）
約数の見つけ方（算数整数の性質）
素因数分解と約数の個数（算数整数の性質）
平方根の意味と根号の簡単化（中学数学数と式）
三平方の定理（中学数学相似と三平方の定理）
乗法公式による展開（中学数学数と式）
折り返した図形の角と長さ（中学数学平面図形）
三平方の定理と平面図形（中学数学相似と三平方の定理）
ベクトルの演算と成分（数学C ベクトル）
特別な直角三角形の辺の比（中学数学相似と三平方の定理）
最大公約数と最小公倍数（算数整数の性質）
比の性質と簡単な比（算数割合と比）
相似な三角形と長さの比（算数平面図形）
三角形の相似条件と対応する辺の長さ（中学数学相似と三平方の定理）
三角比の定義と値（数学I 図形と計量）
内積となす角（数学C ベクトル）
位置ベクトルと内分点・外分点（数学C ベクトル）
交点の位置ベクトル（数学C ベクトル）
空間ベクトルと直線・平面（数学C ベクトル）
行列の和・積と 2 次の逆行列（大学数学線形代数）
樹形図で数え上げる（算数場合の数）
積の法則と和の法則（算数場合の数）
和の法則・積の法則と樹形図（数学A 場合の数と確率）
順列・円順列・重複順列（数学A 場合の数と確率）
行列式（大学数学線形代数）
空間ベクトルの外積（大学数学ベクトル解析）
因数分解（中学数学数と式）
3 次式までの展開と因数分解（数学I 数と式）
微分係数と導関数の定義（数学II 微分法と積分法）
多項式の微分（数学II 微分法と積分法）
多項式の不定積分（数学II 微分法と積分法）
等間隔にならんだ数の和（算数計算と数のきまり）
等差・等比数列の和と Σ （数学B 数列）
数列の極限（数学III 極限）
関数の極限（数学III 極限）
積と商の微分（数学III 微分法）
合成関数の微分（数学III 微分法）
円の周の長さと面積（算数平面図形）
おうぎ形の弧の長さと面積（算数平面図形）
弧の長さからおうぎ形の中心角と面積を求める（中学数学平面図形）
弧度法と単位円による三角関数（数学II 三角関数）
$sin x / x$ の極限（数学III 極限）
加法定理と 2 倍角・半角・積和の公式（数学II 三角関数）
三角関数の導関数（数学III 微分法）
根号の乗除と加減（中学数学数と式）
指数の拡張と指数関数（数学II 指数関数と対数関数）
対数の定義と性質（数学II 指数関数と対数関数）
自然対数の底 $e$ （数学III 極限）
指数関数・対数関数の導関数（数学III 微分法）
基本的な関数の不定積分（数学III 積分法）
置換積分（数学III 積分法）
部分積分（数学III 積分法）
定積分の計算（数学II 微分法と積分法）
定積分の置換・部分積分と偶関数・奇関数（数学III 積分法）
逆関数・陰関数・媒介変数表示の微分（数学III 微分法）
曲線の長さ（数学III 積分法）
広義積分（大学数学微分積分）
空間曲線の曲率とねじれ率（大学院数学微分幾何）
重積分と累次積分（大学数学微分積分）
偏微分と全微分（大学数学微分積分）
多変数の連鎖律（大学数学微分積分）
重積分の変数変換とヤコビアン（大学数学微分積分）
曲面の媒介変数表示と面積要素（大学数学ベクトル解析）
第一基本形式とリーマン計量（大学院数学微分幾何）
第二基本形式と法曲率（大学院数学微分幾何）
曲面上の曲線の測地的曲率（大学院数学微分幾何）
クリストッフェル記号と測地線の方程式（大学院数学微分幾何）
速さと平均の速さ（中学理科運動とエネルギー）
記録タイマーの打点と速さ（中学理科運動とエネルギー）
斜面の運動と等速直線運動（中学理科運動とエネルギー）
変位・速度・加速度（直線運動）（高校物理運動の表し方）
速度の合成と分解（高校物理運動の表し方）
相対速度（高校物理運動の表し方）
分母の有理化（中学数学数と式）
乗法公式・分配法則を使う根号の式の展開（中学数学数と式）
根号を含む式の計算と分母の有理化（数学I 数と式）
ローレンツ変換（大学物理特殊相対論）
時空の計量とクリストッフェル記号（大学院物理一般相対論）
キリングベクトルと測地線の保存量（大学院物理一般相対論）
時間の遅れと固有時（大学物理特殊相対論）

説明

曲がった時空では、座標の時間 $t$ はただのラベルで、実際に時計が刻む時間は固有時 $τ$ です。この技能では、 $d τ^{2} = - g_{μν} d x^{μ} d x^{ν}$ から、重力源のそばに静止している時計や円軌道を回る時計の進み方 $d τ / d t$ を求めます。さらに、静的な時空では光のエネルギー $- p_{t}$ が保存することを使って、場所の違う観測者が同じ光を測ったときの振動数の比（重力赤方偏移）や、運動する観測者が測る速さ・エネルギーを求めます。GPS 衛星の時計の補正や、中性子星・ブラックホール近くからの光のスペクトルの解釈に使う考え方です。

なぜそうしてよいのか

以下、計量の符号を $(-, +, +, +)$ 、 $c = G = 1$ とし、シュワルツシルト時空 $d s^{2} = - f (r) d t^{2} + \frac{d r ^{2}}{f ( r )} + r^{2} (d θ^{2} + sin^{2} θ d ϕ^{2})$ 、 $f (r) = 1 - \frac{2 M}{r}$ を例にとります。特殊相対論で固有時が $d τ^{2} = d t^{2} - d x^{2}$ だったのと同じく、時間的な世界線に沿って時計が刻む時間は $d τ^{2} = - g_{μν} d x^{μ} d x^{ν}$ です。 $r, θ, ϕ$ を固定した静止観測者では $d x^{i} = 0$ なので $\frac{d τ}{d t} = - g_{tt} = f (r)$ で、重力源に近いほど時計は遅れます。赤道面 $θ = π /2$ で角速度 $Ω = d ϕ / d t$ の円運動をする時計では $\frac{d τ}{d t} = f (r) - r^{2} Ω^{2}$ となり、測地線の円軌道 $Ω^{2} = M / r^{3}$ では $\frac{d τ}{d t} = 1 - \frac{3 M}{r}$ です。

次に、ある観測者（4 元速度 $u^{μ}$ ）が光（4 元運動量 $p^{μ}$ ）を測ると、その観測者の静止系では $u^{μ} = (1, 0, 0, 0)$ なので、測るエネルギーは $E_{obs} = - p_{μ} u^{μ}$ です（特殊相対論の $E = p^{0}$ を、どの座標でも使える形に書いたもの）。振動数は $ν_{obs} = E_{obs} / h$ です。静的な時空では計量が $t$ を含まないので、前提の技能から光の測地線に沿って $E_{\infty} \equiv - p_{t}$ が一定です。静止観測者の 4 元速度は規格化 $g_{tt} (u^{t})^{2} = - 1$ から $u^{t} = 1/ - g_{tt}$ なので、
$E_{obs} (r) = - p_{t} u^{t} = \frac{E _{\infty}}{- g _{tt} ( r )} .$
よって、半径 $r_{1}$ で出た光を $r_{2}$ の静止観測者が受けると $\frac{ν _{2}}{ν _{1}} = \frac{- g _{tt} ( r _{1} )}{- g _{tt} ( r _{2} )}$ 、特に無限遠では $\frac{ν _{\infty}}{ν _{r}} = - g_{tt} (r)$ です。直観的には、時空が $t$ によらないので、波の山が出る座標時間の間隔 $Δ t$ はそのまま受け手に届きますが、それぞれの場所の時計で測った間隔 $Δ τ = - g_{tt} Δ t$ が違う、ということです。

同じ式 $E_{obs} = - p_{μ} u^{μ}$ は運動する観測者にも使えます。粒子（4 元速度 $u_{p}$ ）と観測者（ $u_{o}$ ）の間では $- g_{μν} u_{p}^{μ} u_{o}^{ν} = γ = \frac{1}{1 - v ^{2}}$ で、ここから観測者が測る相対速さ $v$ が求まります。

手順

計量と符号の流儀を確認し、観測者の世界線（静止、円運動など）を $d x^{i} / d t$ で表す
$d τ^{2} = - g_{μν} d x^{μ} d x^{ν}$ を $d t^{2}$ で割って $\frac{d τ}{d t}$ を求める（静止なら $- g_{tt}$ ）。 $u^{t} = \frac{d t}{d τ}$ もここで決まる
光のエネルギーの保存量 $E_{\infty} = - p_{t}$ を書く（静的な時空のとき）
各観測者が測るエネルギー $E_{obs} = - p_{μ} u^{μ}$ を求める。静止観測者なら $E_{obs} = \frac{E _{\infty}}{- g _{tt}}$
比をとって振動数の比 $\frac{ν _{2}}{ν _{1}} = \frac{E _{obs, 2}}{E _{obs, 1}}$ を求め、赤方偏移（ $< 1$ ）か青方偏移（ $> 1$ ）かを確かめる

例題

$c = G = 1$ 、計量の符号を $(-, +, +, +)$ とし、質量 $M$ のシュワルツシルト時空 $d s^{2} = - (1 - \frac{2 M}{r}) d t^{2} + \frac{d r ^{2}}{1 - 2 M / r} + r^{2} (d θ^{2} + sin^{2} θ d ϕ^{2})$ を考える。 $r = 3 M$ に静止している光源が、その場で静止している観測者が測って振動数 $ν_{1}$ の光を出し、この光を $r = 6 M$ に静止している観測者が受けて振動数 $ν_{2}$ を測った。比 $\frac{ν _{2}}{ν _{1}}$ を求めよ。

例題の解答

手順 1: 両観測者とも $r, θ, ϕ$ が一定の静止観測者。

手順 2: $\frac{d τ}{d t} = - g_{tt} = 1 - \frac{2 M}{r}$ なので、 $u^{t} = \frac{1}{1 - 2 M / r}$ 。 $r = 3 M$ では $- g_{tt} = \frac{1}{3}$ 、 $r = 6 M$ では $- g_{tt} = \frac{2}{3}$ 。

手順 3: 計量は $t$ を含まないので、光の $E_{\infty} = - p_{t}$ は伝わる途中で一定。

手順 4: 静止観測者が測るエネルギーは $E_{obs} = - p_{t} u^{t} = \frac{E _{\infty}}{- g _{tt}}$ なので、 $E_{1} = 3 E_{\infty}$ 、 $E_{2} = \frac{3}{2} E_{\infty}$ 。

手順 5: $\frac{ν _{2}}{ν _{1}} = \frac{E _{2}}{E _{1}} = \frac{1/3}{2/3} = \frac{1}{2} = \frac{2}{2}$ 。 $1$ より小さく、外へ出る光は赤方偏移する。

答え: $\frac{2}{2}$

よくある誤り

比を逆にしてしまう誤り。静止観測者の測る振動数は $ν \propto \frac{1}{- g _{tt}}$ で、重力源に近いほど大きい。正しくは $\frac{ν _{\infty}}{ν _{r}} = - g_{tt} (r) = 1 - \frac{2 M}{r} < 1$ で、 $\frac{1}{1 - 2 M / r}$ ではない
円軌道の時計にも静止観測者の式を使い、 $\frac{d τ}{d t} = 1 - \frac{2 M}{r}$ としてしまう誤り。運動による時間の遅れも入るので $\frac{d τ}{d t} = 1 - \frac{2 M}{r} - r^{2} Ω^{2}$ で、測地線の円軌道 $Ω^{2} = \frac{M}{r ^{3}}$ では $1 - \frac{3 M}{r}$
局所の観測者が測るエネルギーを保存量そのもの $- p_{t}$ としてしまう誤り。 $- p_{t}$ は無限遠の静止観測者が測るエネルギーで、半径 $r$ の静止観測者が測るのは $- p_{μ} u^{μ} = \frac{- p _{t}}{- g _{tt} ( r )}$
保存量を上付きの $p^{t}$ としてしまう誤り。保存するのは $p_{t} = g_{tt} p^{t} = - (1 - \frac{2 M}{r}) p^{t}$ で、 $p^{t}$ 自体は $r$ とともに変わる

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
単位系 $G = c = 1$ を用い、計量の符号の流儀は $(-, +, +, +)$ とする。質量 $M$ （ $M > 0$ ）の天体の外側の時空がシュワルツシルト計量
$d s^{2} = - (1 - \frac{2 M}{r}) d t^{2} + (1 - \frac{2 M}{r})^{- 1} d r^{2} + r^{2} (d θ^{2} + sin^{2} θ d ϕ^{2})$
で表されるとする。半径 $r = 4 M$ に静止した（ $r, θ, ϕ$ が一定の）観測者 A が、自分の固有時で測って振動数 $ν_{A}$ の光を放射状に外向きに送り出し、半径 $r = 9 M$ に静止した観測者 B がこれを受け取る。B が自分の固有時で測る振動数を $ν_{B}$ とするとき、比 $\frac{ν _{B}}{ν _{A}}$ を求めよ。答えは分母を有理化した根号の形で書け。

この技能の次に学べること

ブラックホールの地平面と表面重力（大学院物理一般相対論）