ブラックホールの地平面と表面重力

以下 $G=c=1$、計量の符号は $(-,+,+,+)$ とします。$-fd{t}^2+d{r}^2/f$ 型の計量では $g^{rr}=f(r)$ です。$f>0$ の領域では、$r=$ 一定の面は時間的な面（$\theta ,\varphi$ も一定にした静止観測者の世界線 $d{s}^2=-fd{t}^2<0$ を含む面）で、そこにとどまることができます。$f<0$ になると $g_{tt}=-f>0$ となり、$r=$ 一定の面は空間的な面に変わって、粒子も光もそこにとどまれず、$r$ が減る向きにしか進めません。その境目 $g^{rr}=f(r)=0$ の最も外側の根 $r_{+}$ が事象の地平面です。前提の技能の赤方偏移 $\frac{{\nu }_{\infty }}{{\nu }_r}=\sqrt{-g_{tt}}=\sqrt{f(r)}$ も $r\to r_{+}$ で 0 になり、地平面から出た光は無限に赤方偏移します。カー時空はボイヤー・リンドクイスト座標で $$d{s}^2=-\left(1-\frac{2Mr}{{\rho }^2}\right)d{t}^2-\frac{4Mar{\sin }^2\theta }{{\rho }^2}dtd\varphi +\frac{{\rho }^2}{\Delta }d{r}^2+{\rho }^{2}d{\theta }^2+\frac{\left[(r^2+a^2{)}^2-\Delta a^2{\sin }^2\theta \right]{\sin }^2\theta }{{\rho }^2}d{\varphi }^2,$$ $\Delta =r^2-2Mr+a^2$, ${\rho }^2=r^2+a^2{\cos }^2\theta$ と書け、$g^{rr}=\frac{\Delta }{{\rho }^2}$ なので、$\Delta =0$ から $r_{\pm }=M\pm \sqrt{M^2-a^2}$（$|a|\le M$ のとき）となります。

表面重力は、静的な時空では「地平面のすぐ外で静止している観測者を支えるのに必要な加速度を、無限遠から見た量」と解釈できます。静止観測者の 4 元速度は $u^t=\frac{1}{\sqrt{f}}$ で、測地線の方程式からのずれとして加速度 $a^r={\Gamma }_{tt}^r(u^t{)}^2$ が必要です。${\Gamma }_{tt}^r=-\frac{1}{2}{g}^{rr}{\partial }_r{g}_{tt}=\frac{1}{2}f{f}^{\prime }$ より $a^r=\frac{f^{\prime }}{2}$、その大きさは $\sqrt{g_{rr}}{a}^r=\frac{f^{\prime }}{2\sqrt{f}}$ で、地平面では発散します。しかしこの力を無限遠から（例えば糸で）支えるとき、エネルギーは赤方偏移因子 $\sqrt{f}$ だけ小さく見えるので、無限遠で測る加速度は $\sqrt{f}\cdot \frac{f^{\prime }}{2\sqrt{f}}=\frac{f^{\prime }(r)}{2}$ で、これは $r\to r_{+}$ で有限の値に近づきます。この極限が $$\kappa =\frac{1}{2}{f}^{\prime }(r_{+})$$ です。シュワルツシルト $f=1-\frac{2M}{r}$ では $\kappa =\frac{M}{r_{+}^2}=\frac{1}{4M}$ で、ニュートンの表面重力 $M/R^2$ と同じ形になります。一般には、表面重力は地平面上で光的になるキリングベクトル $\chi$（静的なら $\chi ={\partial }_t$）を使って、地平面上で ${\chi }^{\nu }{\nabla }_{\nu }{\chi }^{\mu }=\kappa {\chi }^{\mu }$ が成り立つ係数として定義され、上の解釈はその静的な場合にあたります。カー時空では地平面を生成するのは $\chi ={\partial }_t+{\Omega }_H{\partial }_{\varphi }$、${\Omega }_H=\frac{a}{r_{+}^2+a^2}$（地平面の角速度）です。この定義からの完全な計算は前提の範囲を超えるので、ここでは結果 $\kappa =\frac{r_{+}-r_{-}}{2(r_{+}^2+a^2)}$ を公式として使いますが、道筋は次のとおりです。計量を $-N^{2}d{t}^2+g_{\varphi \varphi }(d\varphi -\omega dt{)}^2+\cdots$ と書き直すと、$\omega =-\frac{g_{t\varphi }}{g_{\varphi \varphi }}$、$N^2=\frac{\Delta {\rho }^2}{(r^2+a^2{)}^2-\Delta a^2{\sin }^2\theta }$ で、地平面では $\omega \to {\Omega }_H$ です。角速度 $\omega$ で回りながら $r$ 一定にとどまる観測者を支える加速度に $N$ を掛けた量 $\sqrt{g^{rr}}{\partial }_{r}N$ の $r\to r_{+}$ の極限をとると（静的な場合の $\sqrt{f}\cdot \frac{f^{\prime }}{2\sqrt{f}}$ にあたる）、$\Delta \to 0$ で $\sqrt{\frac{\Delta }{{\rho }^2}}\cdot \frac{{\Delta }^{\prime }}{2\sqrt{\Delta }}\cdot \frac{\rho }{r_{+}^2+a^2}=\frac{{\Delta }^{\prime }(r_{+})}{2(r_{+}^2+a^2)}$、${\Delta }^{\prime }(r_{+})=2r_{+}-2M=r_{+}-r_{-}$ となって上の公式が得られます。$a\to 0$ では $\frac{2M}{2\cdot 4M^2}=\frac{1}{4M}$ に戻ります。

地平面の面積は、$t=$ 一定、$r=r_{+}$ の 2 次元面に計量が誘導する面積要素 $\sqrt{g_{\theta \theta }{g}_{\varphi \varphi }}d\theta d\varphi$ を積分して求めます（$g_{\theta \varphi }=0$ のとき。$dt=dr=0$ なので $g_{t\varphi }$ の項も効きません）。球対称な場合は $r_{+}^2\sin \theta$ なので $A=4\pi r_{+}^2$。カーでは $g_{\theta \theta }={\rho }^2$、$g_{\varphi \varphi }=\frac{\left[(r^2+a^2{)}^2-\Delta a^2{\sin }^2\theta \right]{\sin }^2\theta }{{\rho }^2}$ に $\Delta (r_{+})=0$ を代入すると $g_{\varphi \varphi }=\frac{(r_{+}^2+a^2{)}^2{\sin }^2\theta }{{\rho }^2}$ となるので、積が $(r_{+}^2+a^2{)}^2{\sin }^2\theta$ となって ${\rho }^2$ が消え、$$A={\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{\pi }(r_{+}^2+a^2)\sin \theta d\theta d\varphi =4\pi (r_{+}^2+a^2)$$ です。