ホーキング温度・エントロピーと熱容量

$T = \frac{κ}{2 π}$ 、 $S = \frac{A}{4}$ を質量・電荷・角運動量の関数として表し、偏微分の連鎖律で熱容量 $C_{Q} = (\frac{\partial M}{\partial T})_{Q}$ や $C_{J} = T (\frac{\partial S}{\partial T})_{J}$ を計算して、符号が変わる（発散する）条件を求められる

前提

ブラックホールの地平面と表面重力（大学院物理一般相対論）

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算数中学高校大学大学院

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ブラックホールの地平面と表面重力（大学院物理一般相対論）

説明

量子効果を考えるとブラックホールは温度 $T = \frac{κ}{2 π}$ の熱放射を出し（ホーキング放射）、エントロピー $S = \frac{A}{4}$ をもつ熱力学的な物体として扱えます（ $G = c = ℏ = k_{B} = 1$ ）。この技能では、表面重力 $κ$ と地平面の面積 $A$ を質量 $M$ ・電荷 $Q$ ・角運動量 $J$ の関数として書き、偏微分と連鎖律で熱容量を計算します。熱容量の符号から、ブラックホールが周囲の熱浴と安定に平衡できるかどうか、また熱容量が発散して符号が変わる境目（デイビス点）を求められます。

なぜそうしてよいのか

単位は $G = c = ℏ = k_{B} = 1$ とします。シュワルツシルト時空では $r_{+} = 2 M$ 、 $κ = \frac{1}{4 M}$ 、 $A = 4 π r_{+}^{2} = 16 π M^{2}$ なので $T = \frac{1}{8 π M}$ , $S = 4 π M^{2}$ です。このとき $d S = 8 π M d M$ より $T d S = d M$ となり、ブラックホールの質量（エネルギー）変化が熱力学第一法則 $d E = T d S$ の形をとります。電荷・回転がある場合も、電荷 $Q$ と角運動量 $J$ を固定した変化では $d M = T d S$ が成り立ちます（一般には $d M = T d S + Φ d Q + Ω dJ$ 、 $Φ$ は地平面の静電ポテンシャル、 $Ω$ は地平面の角速度）。

したがって $Q$ （または $J$ ）を固定した熱容量は $C_{Q} = (\frac{\partial M}{\partial T})_{Q} = T (\frac{\partial S}{\partial T})_{Q}$ で、どちらで計算しても同じです。ただし $T$ と $S$ は $M$ の陽な関数としては扱いにくいことが多いので、地平面の半径 $r_{+}$ のような扱いやすい変数を媒介変数にとり、連鎖律 $C_{Q} = \frac{( \partial M / \partial r _{+} ) _{Q}}{( \partial T / \partial r _{+} ) _{Q}}$ で計算します。分母 $(\partial T / \partial r_{+})_{Q}$ が 0 になる点で熱容量は発散し、その前後で符号が変わります。

シュワルツシルトでは $C = \frac{d M}{d T} = - 8 π M^{2} < 0$ で、エネルギーを失う（放射する）と温度が上がり、さらに放射が強まる不安定な系です。電荷をもつライスナー・ノルドシュトロム解（ $f = 1 - \frac{2 M}{r} + \frac{Q ^{2}}{r ^{2}}$ ）では $r_{\pm} = M \pm M^{2} - Q^{2}$ 、 $T = \frac{r _{+} - r _{-}}{4 π r _{+}^{2}}$ 、 $S = π r_{+}^{2}$ で、 $r_{-} = \frac{Q ^{2}}{r _{+}}$ , $M = \frac{r _{+}^{2} + Q ^{2}}{2 r _{+}}$ を使うと $T = \frac{r _{+}^{2} - Q ^{2}}{4 π r _{+}^{3}}$ です。電荷が大きく極限 $∣ Q ∣ = M$ （ $T = 0$ ）に近いところでは $M$ を増やすと $T$ が上がる、つまり熱容量が正になり、その境目で熱容量が発散します。

手順

計量から $r_{\pm}$ 、 $κ$ 、 $A$ を求め、 $T = \frac{κ}{2 π}$ , $S = \frac{A}{4}$ を書く（カーなら $T = \frac{r _{+} - r _{-}}{4 π ( r _{+}^{2} + a ^{2} )}$ , $S = π (r_{+}^{2} + a^{2})$ 、 $a = J / M$ ）
固定する量（ $Q$ や $J$ ）を決め、 $M, T, S$ を 1 つの媒介変数（例: $r_{+}$ ）の関数として表す。RN なら $M = \frac{r _{+}^{2} + Q ^{2}}{2 r _{+}}$ , $T = \frac{r _{+}^{2} - Q ^{2}}{4 π r _{+}^{3}}$
連鎖律で $C_{Q} = \frac{( \partial M / \partial r _{+} ) _{Q}}{( \partial T / \partial r _{+} ) _{Q}}$ （または $C_{J} = T \frac{( \partial S / \partial r _{+} ) _{J}}{( \partial T / \partial r _{+} ) _{J}}$ ）を計算する
符号を調べる。 $(\partial T / \partial r_{+}) = 0$ となる点で熱容量が発散し符号が変わる。RN では $r_{+}^{2} = 3 Q^{2}$ 、すなわち $\frac{∣ Q ∣}{M} = \frac{3}{2}$
特別な場合で検算する。 $Q = 0$ でシュワルツシルトの $C = - 8 π M^{2}$ に戻ることを確かめる

例題

$G = c = ℏ = k_{B} = 1$ とする。計量 $d s^{2} = - f d t^{2} + \frac{d r ^{2}}{f} + r^{2} d Ω^{2}$ , $f (r) = 1 - \frac{2 M}{r} + \frac{Q ^{2}}{r ^{2}}$ で表される質量 $M$ 、電荷 $Q$ のブラックホールのホーキング温度を $T = \frac{κ}{2 π}$ とする。 $Q = \frac{3}{5} M$ $(M > 0)$ の状態での、電荷を一定に保つ熱容量 $C_{Q} = (\frac{\partial M}{\partial T})_{Q}$ を $M$ で表せ。

例題の解答

手順 1: $f = 0$ より $r_{\pm} = M \pm M^{2} - Q^{2}$ 。 $f = \frac{( r - r _{+} ) ( r - r _{-} )}{r ^{2}}$ なので $κ = \frac{1}{2} f^{'} (r_{+}) = \frac{r _{+} - r _{-}}{2 r _{+}^{2}}$ 、 $T = \frac{r _{+} - r _{-}}{4 π r _{+}^{2}}$ 。

手順 2: $Q$ を固定し $r_{+}$ を媒介変数にする。 $r_{+} r_{-} = Q^{2}$ 、 $r_{+} + r_{-} = 2 M$ より $M = \frac{r _{+}^{2} + Q ^{2}}{2 r _{+}}, T = \frac{r _{+} - Q ^{2} / r _{+}}{4 π r _{+}^{2}} = \frac{r _{+}^{2} - Q ^{2}}{4 π r _{+}^{3}} .$

手順 3: $(\frac{\partial M}{\partial r _{+}})_{Q} = \frac{1}{2} - \frac{Q ^{2}}{2 r _{+}^{2}} = \frac{r _{+}^{2} - Q ^{2}}{2 r _{+}^{2}}$ 、 $(\frac{\partial T}{\partial r _{+}})_{Q} = \frac{2 r _{+} \cdot r _{+}^{3} - 3 r _{+}^{2} ( r _{+}^{2} - Q ^{2} )}{4 π r _{+}^{6}} = \frac{3 Q ^{2} - r _{+}^{2}}{4 π r _{+}^{4}}$ 。よって $C_{Q} = \frac{r _{+}^{2} - Q ^{2}}{2 r _{+}^{2}} \cdot \frac{4 π r _{+}^{4}}{3 Q ^{2} - r _{+}^{2}} = \frac{2 π r _{+}^{2} ( r _{+}^{2} - Q ^{2} )}{3 Q ^{2} - r _{+}^{2}} .$

$Q = \frac{3}{5} M$ では $M^{2} - Q^{2} = \frac{4}{5} M$ より $r_{+} = \frac{9}{5} M$ 、 $r_{+}^{2} = \frac{81}{25} M^{2}$ 、 $Q^{2} = \frac{9}{25} M^{2}$ 。代入して $C_{Q} = \frac{2 π \cdot \frac{81}{25} M ^{2} \cdot \frac{72}{25} M ^{2}}{\frac{27}{25} M ^{2} - \frac{81}{25} M ^{2}} = \frac{2 π \cdot 81 \cdot 72}{25 \cdot ( - 54 )} M^{2} = - \frac{216 π}{25} M^{2} .$

手順 4・5: $\frac{Q}{M} = \frac{3}{5} < \frac{3}{2}$ なので負の熱容量の側にあり、符号は合っている。また $Q = 0$ とおくと一般式は $\frac{2 π r _{+}^{4}}{- r _{+}^{2}} = - 2 π r_{+}^{2} = - 8 π M^{2}$ となり、シュワルツシルトに一致する。

答え: $- \frac{216 π}{25} M^{2}$

よくある誤り

シュワルツシルトの温度を $T = \frac{1}{4 π M}$ や $\frac{1}{4 M}$ としてしまう誤り。正しくは $κ = \frac{1}{4 M}$ を $2 π$ で割って $T = \frac{1}{8 π M}$ 、エントロピーは $S = \frac{A}{4} = \frac{16 π M ^{2}}{4} = 4 π M^{2}$ 。
$Q$ を固定せずに微分してしまう誤り（例: $T = \frac{r _{+}^{2} - Q ^{2}}{4 π r _{+}^{3}}$ を $r_{+}$ で微分するとき $Q$ も $r_{+}$ とともに動くと考える、あるいは $r_{-}$ を定数とみなす）。正しくは $C_{Q}$ では $Q$ を定数にし、 $r_{-} = Q^{2} / r_{+}$ は $r_{+}$ とともに変わる。
熱容量の符号が変わる点を、温度が 0 になる極限 $∣ Q ∣ = M$ としてしまう誤り。正しくは $(\partial T / \partial r_{+})_{Q} = 0$ 、すなわち $r_{+}^{2} = 3 Q^{2}$ で熱容量が発散して符号が変わり、それは $\frac{∣ Q ∣}{M} = \frac{3}{2}$ の点。 $\frac{3}{2} < \frac{∣ Q ∣}{M} < 1$ で $C_{Q} > 0$ 。
$C_{Q} = T (\frac{\partial S}{\partial T})_{Q}$ と $(\frac{\partial M}{\partial T})_{Q}$ が別の量だと考え、 $Φ d Q$ の項を足してしまう誤り。正しくは $Q$ 一定では $d M = T d S$ なので両者は等しい。例えば上の例では $T \frac{( \partial S / \partial r _{+} )}{( \partial T / \partial r _{+} )} = \frac{r _{+}^{2} - Q ^{2}}{4 π r _{+}^{3}} \cdot 2 π r_{+} \cdot \frac{4 π r _{+}^{4}}{3 Q ^{2} - r _{+}^{2}}$ も同じ $\frac{2 π r _{+}^{2} ( r _{+}^{2} - Q ^{2} )}{3 Q ^{2} - r _{+}^{2}}$ になる。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
自然単位系 $G = c = ℏ = k_{B} = 1$ を用い、計量の符号は $(-, +, +, +)$ とする。質量 $M > 0$ のシュワルツシルト・ブラックホール
$d s^{2} = - f (r) d t^{2} + \frac{d r ^{2}}{f ( r )} + r^{2} (d θ^{2} + sin^{2} θ d ϕ^{2}), f (r) = 1 - \frac{2 M}{r}$
を考える。ホーキング温度は表面重力 $κ$ を用いて $T = \frac{κ}{2 π}$ で与えられ、表面重力は $κ = \frac{1}{2} f^{'} (r_{+})$ （ $r_{+}$ は事象の地平面の半径）で計算できるとする。このブラックホールの熱容量 $C = \frac{d M}{d T}$ を $M$ を用いて表せ。

ホーキング温度・エントロピーと熱容量

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

この技能を使う問題