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時空の計量とクリストッフェル記号

与えられた時空の計量 $g_{\mu \nu }$（符号の流儀を含む）から ${\Gamma }_{\mu \nu }^{\rho }=\frac{1}{2}{g}^{\rho \sigma }({\partial }_{\mu }{g}_{\sigma \nu }+{\partial }_{\nu }{g}_{\sigma \mu }-{\partial }_{\sigma }{g}_{\mu \nu })$ を計算し、作用 $\int g_{\mu \nu }{\dot{x}}^{\mu }{\dot{x}}^{\nu }d\lambda$ のオイラー・ラグランジュ方程式から読み取る方法も使って、ゼロでない成分を求められる

前提

• クリストッフェル記号と測地線の方程式 （大学院数学 微分幾何）
• ローレンツ変換 （大学物理 特殊相対論）

説明

なぜそうしてよいのか

手順

1. 計量 $g_{\mu \nu }$ を行列として書き、符号の流儀と座標の順番 $(x^0,x^1,x^2,x^3)$ を確認する

2. 逆行列 $g^{\mu \nu }$ を求める（対角なら $g^{\mu \mu }=1/g_{\mu \mu }$）

3. どの成分がどの座標に依存するかを調べ、ゼロでない偏微分 ${\partial }_{\sigma }{g}_{\mu \nu }$ を書き出す

4. 公式 ${\Gamma }_{\mu \nu }^{\rho }=\frac{1}{2}{g}^{\rho \sigma }({\partial }_{\mu }{g}_{\sigma \nu }+{\partial }_{\nu }{g}_{\sigma \mu }-{\partial }_{\sigma }{g}_{\mu \nu })$ に入れる。あるいは $L=g_{\mu \nu }{\dot{x}}^{\mu }{\dot{x}}^{\nu }$ の各座標のオイラー・ラグランジュ方程式を ${\ddot{x}}^{\rho }+\cdots =0$ の形にし、${\dot{x}}^{\mu }{\dot{x}}^{\nu }$ の係数を読む（$\mu \ne \nu$ の項は係数の半分）

5. 対称性 ${\Gamma }_{\mu \nu }^{\rho }={\Gamma }_{\nu \mu }^{\rho }$ を使って、ゼロでない成分をすべて並べる

例題

よくある誤り

• 逆計量の時間成分の符号を落とし、$(-,+,+,+)$ で $g^{tt}=+1$ として ${\Gamma }_{xx}^t=-a\dot{a}$ としてしまう誤り。正しくは $g^{tt}=1/g_{tt}=-1$ で ${\Gamma }_{xx}^t=\frac{1}{2}(-1)(-2a\dot{a})=a\dot{a}$。$(+,-,-,-)$ の流儀でも $g_{tt}=1,g_{xx}=-a^2$ から同じ $a\dot{a}$ になる

• オイラー・ラグランジュ方程式から読むとき、$\mu \ne \nu$ の項の係数をそのまま $\Gamma$ としてしまう誤り。例えば $x$ の方程式 $\ddot{x}+\frac{2\dot{a}}{a}\dot{t}\dot{x}=0$ から ${\Gamma }_{tx}^x=\frac{2\dot{a}}{a}$ とするのは誤りで、${\Gamma }_{tx}^x\dot{t}\dot{x}+{\Gamma }_{xt}^x\dot{x}\dot{t}$ の 2 項の和なので ${\Gamma }_{tx}^x=\frac{\dot{a}}{a}$

• オイラー・ラグランジュ方程式を ${\ddot{x}}^{\rho }$ の係数が $1$ になるように割らずに読む誤り。例えば $x$ の方程式は $\frac{d}{d\lambda }(2a^2\dot{x})=2a^2\ddot{x}+4a\dot{a}\dot{t}\dot{x}=0$ なので、$2a^2$ で割ってから係数を読む

• 逆計量を使わずに $g_{\rho \sigma }$ で添字を上げてしまう誤り。例えば ${\Gamma }_{tx}^x=\frac{1}{2}{g}_{xx}{\partial }_t{g}_{xx}=a^3\dot{a}$ とするのは誤りで、正しくは ${\Gamma }_{tx}^x=\frac{1}{2}{g}^{xx}{\partial }_t{g}_{xx}=\frac{1}{2}{a}^{-2}\cdot 2a\dot{a}=\frac{\dot{a}}{a}$

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

• 難易度 1（大学院の講義の例題レベル）

  自然単位系 $c=1$ を用い、計量の符号の流儀は $(-,+)$ とする。座標 $(x^0,x^1)=(t,x)$ をもつ 2 次元時空の計量が
  $$d{s}^2=-d{t}^2+e^{2Ht}d{x}^2$$
  で与えられている。ここで $H$ は正の定数である。レビ・チビタ接続のクリストッフェル記号
  $${\Gamma }_{\mu \nu }^{\rho }=\frac{1}{2}{g}^{\rho \sigma }\left({\partial }_{\mu }{g}_{\sigma \nu }+{\partial }_{\nu }{g}_{\sigma \mu }-{\partial }_{\sigma }{g}_{\mu \nu }\right)$$
  のうち、成分 ${\Gamma }_{xx}^t$ を $t$ と $H$ で表せ。

この技能を使う問題

• 難易度 2（大学院の講義の演習問題レベル）

  $2+1$ 次元時空の計量
  $$d{s}^2=-d{t}^2+t^{2p}d{x}^2+t^{2q}d{y}^2$$
  を考える。ここで $t>0$、$p,q$ は実数の定数、$c=1$ とし、計量の符号は $(-,+,+)$ とする。曲率の定義は
  $$R^{\rho }{}_{\sigma \mu \nu }={\partial }_{\mu }{\Gamma }_{\nu \sigma }^{\rho }-{\partial }_{\nu }{\Gamma }_{\mu \sigma }^{\rho }+{\Gamma }_{\mu \lambda }^{\rho }{\Gamma }_{\nu \sigma }^{\lambda }-{\Gamma }_{\nu \lambda }^{\rho }{\Gamma }_{\mu \sigma }^{\lambda },R_{\mu \nu }=R^{\rho }{}_{\mu \rho \nu },R=g^{\mu \nu }{R}_{\mu \nu }$$
  とし、$\Gamma$ はレビ＝チビタ接続とする。このときリッチスカラー $R$ を $p,q,t$ で表せ。

• 難易度 3（大学院入試の専門科目の標準レベル）

  4 次元時空 $(t,x,y,z)$ で、次の計量を考える。
  $$d{s}^2=-d{t}^2+e^{2Ht}d{x}^2+t^2\left(d{y}^2+d{z}^2\right)$$
  ここで $H$ は正の定数、$t>0$ とする。光速は $c=1$、計量の符号は $(-,+,+,+)$ とする。リーマンテンソルは $R^{\rho }{}_{\sigma \mu \nu }={\partial }_{\mu }{\Gamma }_{\nu \sigma }^{\rho }-{\partial }_{\nu }{\Gamma }_{\mu \sigma }^{\rho }+{\Gamma }_{\mu \lambda }^{\rho }{\Gamma }_{\nu \sigma }^{\lambda }-{\Gamma }_{\nu \lambda }^{\rho }{\Gamma }_{\mu \sigma }^{\lambda }$ で定義する。

  この時空のクレッチマン・スカラー $K=R_{\mu \nu \rho \sigma }{R}^{\mu \nu \rho \sigma }$ を $H$ と $t$ の式で求めよ。

この技能の次に学べること

• リーマンテンソル・リッチテンソル・リッチスカラー （大学院物理 一般相対論）
• キリングベクトルと測地線の保存量 （大学院物理 一般相対論）